Question

Помогите решить 9 номер (подробно с пошаговым решением).

Answer 1

Ответ:

$(2;1+\sqrt{2})\cup(\dfrac{3+\sqrt{5}}{2};3)\cup(3;+\infty)$

Пошаговое объяснение:

ОДЗ логарифмов: x > 0, x ≠ 1, x > 2, x ≠ 3 ⇒ x > 2, x ≠ 3

Пусть $\log_{x}{(x-2)}=t$. Тогда $\log_{x-2}{x}=\dfrac{1}{\log_{x}{(x-2)}}=\dfrac{1}{t}$:

$\dfrac{4t+\frac{1}{t}-4}{4t+\frac{2}{t}+6}\geq 0$. Заметим, что t ≠ 0, так как это значение достигается только при x = 3 (x - 2 = x⁰ = 1 ⇔ x = 3). Но при x = 3 основание логарифма $\log_{x-2}{x}$ равно 1, что не удовлетворяет ОДЗ. Значит, домножим обе части дроби на t:

$\dfrac{4t^2-4t+1}{4t^2+6t+2}\geq 0|\cdot 2\\\dfrac{4t^2-4t+1}{2t^2+3t+1}\geq 0\\\dfrac{(2t-1)^2}{(t+1)(2t+1)}\geq 0$

Решим методом интервалов:

 +      -    +     +

----o----o----*---->

   -1    -¹/₂   ¹/₂  

$t\in(-\infty;-1)\cup(-\frac{1}{2};+\infty)$

$\displaystyle\left [ {{\log_{x}{(x-2)}<-1} \atop {\log_{x}{(x-2)}>-\frac{1}{2}}} \right.$

Заметим, что по ОДЗ x > 2, то есть основание логарифма всегда больше 1. Значит, на ОДЗ неравенства равносильны:

$\displaystyle \left [ {{x-2<x^{-1}} \atop {x-2>x^{-\frac{1}{2}}}} \right. \left [ {{x-2<\frac{1}{x}} \atop {x-2>\frac{1}{\sqrt{x}}}} \right. \left [ {{x^2-2x-1<0} \atop {\sqrt{x}^3-2\sqrt{x}-1>0}} \right.$

Первое неравенство имеет решение (с учётом ОДЗ) $x\in(2;1+\sqrt{2})$

Второе неравенство раскладывается на множители:

$(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}^2-\sqrt{x}-1)>0|:(\sqrt{x}+1)>0\\\sqrt{x}^2-\sqrt{x}-1>0$

Нули получившегося неравенства: $\displaystyle \left [ {{\sqrt{x}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0} \atop {\sqrt{x}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}}} \right.\Rightarrow x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$

C учётом ОДЗ получаем, что в данном случае $x\in(\dfrac{3+\sqrt{5}}{2};3)\cup(3;+\infty)$ (левая граница меньше правой, так как √5 < 3).

Объединим промежутки. Сравним правую границу первого неравенства и левую границу второго. Сравним эти числа относительно 2,5:

$1+\sqrt{2}\vee 2{,}5\Leftrightarrow\sqrt{2}\vee1{,}5\Leftrightarrow 2<2{,}25\\\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\vee 2{,}5\Leftrightarrow \sqrt{5}\vee 2\Leftrightarrow 5>4\\1+\sqrt{2}<\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$

Тогда промежутки не пересекаются, итоговый ответ: $x\in(2;1+\sqrt{2})\cup(\dfrac{3+\sqrt{5}}{2};3)\cup(3;+\infty)$

Answer 2

Пошаговое объяснение: во вложении