Question

Решить неравенство (x+7)(x^2-6x+8)^1/2 >= (x+1)(x^2-3x+2)^1/2

Answer 1

$(x+7)\cdot \sqrt{x^2-6x+8}\geq (x+1)\cdot \sqrt{x^2-3x+2}$

ОДЗ:

$\left \{ {{x^2-6x+8 \geq0 } \atop {x^2-3x+2\geq 0 }} \right.$         $\left \{ {{(x-2)(x-4) \geq0 } \atop {(x-1)(x-2)\geq 0 }} \right.$     ⇒    $x \in (-\infty; 1] \cup 2 \cup [4; +\infty)$

Рассматриваем четыре  случая с учетом ОДЗ:

1) Если правая часть неотрицательна, левая  неположительна

$\left \{ {{(x+1)\cdot \sqrt{x^2-3x+2}\leq 0} \atop {(x+7)\cdot \sqrt{x^2-6x+8}\geq 0}} \right.$    ⇒  $\left \{ {{x+1\leq 0 ; x=1; x=2} \atop {\left \[ {{x+7 \geq 0; x\leq 2 ; x \geq 4 }} \right. }} \right.$     ⇒$x \in [-7;- 1]$ U{1} U {2}

Неравенство верно при любых        $x \in [-7;-1]$ U {1} U {2}

2)

Если правая часть отрицательная, левая неотрицательная, неравенство неверно:

   $\left \{ {{(x+1)\cdot \sqrt{x^2-3x+2}\geq0} \atop {(x+7)\cdot \sqrt{x^2-6x+8}< 0}} \right.$    ⇒  $\left \{ {{x \geq-1} \atop {\left \[ {x<-7}} \right.$     ⇒ нет таких  значений х

3)

Если правая часть неотрицательная , левая неотрицательная

$\left \{ {{(x+1)\cdot \sqrt{x^2-3x+2}\geq0} \atop {(x+7)\cdot \sqrt{x^2-6x+8}\geq 0}} \right.$⇒  $\left \{ {{-1\leq x\leq 2; x \geq4} \atop {\left \[ {-7 \leqx\leq1; x \geq2}} \right.$     ⇒ $x \in [-1;1] \cup2\cup[4;+\infty)$

 возводим обе части неравенства в квадрат:

$(x+7)^2\cdot(x^2-6x+8)\geq (x+1)\cdot(x^2-3x+2)$

$(x+7)^2\cdot(x-2)\cdot (x-4)-( x+1)^2\cdot(x-1)\cdot (x-2)\geq 0$

$(x-2)\cdot((x-7)^2\cdot (x-4)-( x+1)^2\cdot (x-1))\geq 0$

$(x-2)\cdot(x^3+14x^2+49x-4x^2-56x-196-x^2+x-x^2+1)\geq 0$

$(x-2)\cdot(9x^2-6x-195)\geq 0$

$3\cdot (x-2)\cdot(3x^2-2x-65)\geq 0$                      D=(-2)²-4·3·(-65)=784=28²

$3\cdot (x-2)\cdot(3x+13)(x-5)\geq 0$

$x \in [-\frac{13}{3} ;2] \cup[5;+\infty)$

C  учетом условия третьего случая:                     $x \in [-1;1] \cup[4;+\infty)$

получим ответ   третьего случая        $x \in [-1;1] \cup [5;+\infty)$

4)

Если левая  часть отрицательная и правая тоже отрицательна

$\left \{ {{(x+1)\cdot \sqrt{x^2-3x+2}<0} \atop {(x+7)\cdot \sqrt{x^2-6x+8}< 0}} \right.$⇒  $\left \{ {{x<-1} \atop {\left \[ {x<-7}} \right.$     ⇒ $x \in (-\infty;-7)$

умножаем на (-1) обе части неравенства и

 возводим  в квадрат:

$(x+7)^2\cdot(x^2-6x+8)\leq (x+1)\cdot(x^2-3x+2)$

$(x+7)^2\cdot(x-2)\cdot (x-4)-( x+1)^2\cdot(x-1)\cdot (x-2)\leq 0$

$(x-2)\cdot((x-7)^2\cdot (x-4)-( x+1)^2\cdot (x-1))\leq 0$

$(x-2)\cdot(x^3+14x^2+49x-4x^2-56x-196-x^2+x-x^2+1)\leq 0$

$(x-2)\cdot(9x^2-6x-195)\leq 0$

$3\cdot (x-2)\cdot(3x^2-2x-65)\leq 0$                      

D=(-2)²-4·3·(-65)=784=28²

$3\cdot (x-2)\cdot(3x+13)(x-5)\leq 0$

$x \in (-\infty;-\frac{13}{3} ] \cup [2;5]$

C  учетом условия четвертого  случая:                     $x \in (-\infty;-7)$

получим ответ   четвертого случая        $x \in (-\infty;-7)$

Объединяем ответы рассмотренных случаев:

$x \in (-\infty;1] \cup 2 \cup [5;+\infty)$