Question

Найти все значение a, при которых уравнение имеет ровно один корень. Помогите решить!

Answer 1

Воспользуемся формулой $|x| = \sqrt{x^{2} }$ :

$\sqrt{(2^{x} -2)^{2} } =\sqrt{a^{2} }$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{(2^{x} -2)^{2} })^{2} =(\sqrt{a^{2} })^{2} \\ (2^{x} -2)^{2} =a^{2} \\(2^{x} -2)^{2}-a^{2} =0\\(2^{x} -2-a)(2^{x} -2+a) = 0$

Рассмотрим 3 случая :

1.

$2^{x} -2-a = 0\\ 2^{x} -2+a \neq 0$

----------------------

$2^{x}= 2+a$

Мы знаем, что любое число(кроме 0) в любой степени больше нуля, то есть 2+а > 0 => a>-2

$2^{x} \neq 2-a$

Так же 2-а уже должно быть меньше или равно нулю:

2-a ≤ 0 => a ≥ 2

Найдем пересечение => a ≥ 2

2.

По тому же принципу :

$2^{x} -2-a \neq 0 => 2^{x} \neq 2+a = > a\leq -2\\2^{x} -2+a=0 => 2^{x}=2-a=> a< 2$

Найдем пересечение => a ≤-2

3.

$2^{x} -2-a=2^{x} -2+a\\-a = a\\2a = 0\\a = 0$

----------------------------------------------------------------------

Объединим три ответа => a Є (-∞ ; -2] U [2 ; +∞)

Ответ : a Є (-∞ ; -2] U [2 ; +∞) U {0}

P.S это одно из возможных решений, возможно вы найдете и по проще)