Question

18,13) Решите неравенство: [ arccos(-3/pi)×log(3/pi)(pi/4) ]/ [1- 2log(log2(x))(2) ] >= 0

Заранее большое спасибо! ​

Answer 1

Решение:

_______________________________________

• Рассмотрим сначала числитель неравенства и определим, какой он принимает знак (это можно сделать по причине того, что в числителе отсутствуют неизвестные).

Вспомним, что множество значений функции арккосинуса - это $[ \; 0; \; \pi \; ]$ (а область определения $[ \; -1; \; 1 \; ]$). Так как $-1 < -3 / \pi < 0$, то такой арккосинус имеет место быть. И его значение положительно.

• Из этого, следует, что мы можем обе части поделить на $\arccos \bigg ( - \dfrac{3}{ \pi } \bigg )$ без смены знака и проблемы "деление на ноль".

Теперь посмотрим на логарифм. Его основание и подлогарифмическое выражение ($0 < 3 / \pi < 1$ и $\pi / 4 > 0$) соответствуют всем требованиям по ОДЗ. Также, из-за того, что и основание, и подлогарифмическое выражение находятся на промежутке $(0; \; 1)$, само значение логарифма больше ноля.

• Откуда мы делим обе части на $\log_{ \frac{3}{ \pi }} \dfrac{ \pi }{4}$, с равносильным переходом.

_______________________________________

Уравнение принимает вид (после сокращения на логарифм и арккосинус):

         $\displaystyle \frac{1}{1 - 2 \; \log _{ \log_2 x} 2} \geq 0$

И тут можно вспомнить про ограничения (вообще, можно было их прямо сейчас не писать, и, тем более, не решать, но за пределам скобок было написано "можно"):

$\displaystyle \begin{equation*} \begin{cases} 1 - 2 \; \log _{ \log_2 x} 2 \ne 0\\\log_2 x > 0 \\\log_2x \ne 1\end{cases} \end{equation*}$                              $\displaystyle \begin{equation*} \begin{cases} \log _{ \log_2 x} 2 \ne 0,5 \\\log_2 x > \log_20 \\\log_2x \ne \log_22 \end{cases} \end{equation*}$      

$\displaystyle \begin{equation*} \begin{cases} \log _{ \log_2 x} 2 \ne \log _{ \log _2 x} \sqrt{\log _2 x} \\\ x > 1 \\ x \ne 2 \end{cases} \end{equation*}$                $\displaystyle \begin{equation*} \begin{cases} 4 \ne \log _2 x \\\ x > 1 \\ x \ne 2 \end{cases} \end{equation*}$      

$\displaystyle \begin{equation*} \begin{cases} x > 1 \\\ x \ne 1 \\ x \ne 16 \end{cases} \end{equation*}$

_______________________________________

Теперь заметим, чтобы неравенство выполнялось, необходимо, чтобы:

       $\displaystyle 1 - 2 \; \log _{ \log_2 x} 2 > 0\\\\\log _{ \log_2 x} (4) < \log _{ \log_2 x} (\log_2 x) \\\\\ *** \;\;\; ( \log_2 x - 1) (\log_2 x - 4) > 0$

• При этом, в третьей строчке был применен метод рационализации: если $\log_h f \wedge \log_h g$, то $(h-1)(f-g) \wedge 0$).

Дальше - метод интервалов. Первая скобка обноляется при $x=1$, а вторая - при $x=16$. Знаки на числовой оси тоже можно расставить (отмеченные точки - выколотые):

          + + + + +               - - - - -                  + + + + +

    ___________$(2)$___________$(16)$___________

В пересечении с ОДЗ (актуально $x> 1$) имеем вот такое решение:

$x \in (1;2) \cup (16; + \infty )$

Номер ответа - C)!

_______________________________________

Ответ: С)