Question

лф18) Если 0<a<1 , то какое из приведенных выражений имеет смысл?
A)
$log_{2}( log_{a}(a + 1) )$
B)
$log_{a}( log_{a}( \frac{\pi}{4} ) )$
C)
$log_{2}( log_{a}( log_{2}(3) ) )$
D)
$log_{10}( log_{10}( log_{10}(a) ) )$
Желательно с объяснением, спасибо!

​

Answer 1

• Для логарифма $\displaystyle \log _x y$ Область Допустимых Значений (она же - ОДЗ) выглядит так (это нам понадобится для решения задачи):

        $\log_xy \;\;\; \Rightarrow \;\;\; \displaystyle \begin{equation*} \begin{cases}x>0 \\x\ne1 \\y>0 \end{cases}\end{equation*}$

A)

Рассмотрим логарифм $\log _a(a+1)$. С точки зрения ОДЗ и того, что $0<a<1$ и $1 < a+1 < 2$, с этим логарифмом все хорошо.

Но, так как основание логарифма меньше единицы, то его значение больше ноля при $0 < a+1 < 1$, а меньше ноля - при $a+1>1$. Из данного в задаче условия на $a$ имеем, что $1 < a+1 < 2$. Значит, выражение этого логарифма отрицательно.

Но что тогда можно сказать о втором логарифме? Для него подлогарифмическое выражение меньше ноля, что нас абсолютно не устраивает.

Итог: выражение не имеет смысла.

B)

Рассуждаем по аналогии:

$\log_a \bigg ( \dfrac{ \pi }{4} \bigg )$  - существует и больше ноля (так как $0<a<1$ и $0< \pi / 4 < 1$). Основание и подлогарифмическое выражение не только соответствуют ОДЗ, но и оба меньше единицы.

$\log_a \bigg ( \log_a \bigg ( \dfrac{ \pi}{4} \bigg ) \bigg )$  - тоже существует, так как $a>0$ и $a \ne 1$, а также подлогарифмическое выражение больше ноля.

Итог: выражение $\log_a \bigg ( \log_a \bigg ( \dfrac{ \pi}{4} \bigg ) \bigg )$ имеет смысл.

C)

Решаем с использованием уже оговоренных схем:

$\log_2 3$ - существует и больше единицы (так как $3>2>1$).

$\log_a ( \log_23)$ - существует и меньше ноля (так как $\log_23 > 1$ и $a<1$).

$\log _2 ( \log_a ( \log_23) )$ - не очень хорошо существует, в силу отрицательности подлогарифмического выражения.

Итог: выражение не имеет смысла.

D)

$\log_{10} a$ - существует и меньше ноля (так как $10>1$ и $a<1$).

$\log_{10} ( \log_{10}a)$ - не существует, так как $\log_{10} a < 0$.

$\log _{10} ( \log_{10} ( \log_{10}a) )$ - не существует, так как уже его подлогарифмическое выражение не существует.

Итог: выражение не имеет смысла.

  Ответ :   B ) .  

Answer 2

А) не имеет. т.к. ㏒ₐ(а+1) отрицательно, и ㏒₂( ㏒ₐ(а+1)) не имеет смысла.

В)  ㏒ₐ(π/4) >0;  ㏒ₐ(㏒ₐ(π/4)) имеет смысл.

С)  ㏒₂3 положительно, ㏒ₐ(㏒₂3) отрицательно. поэтому ㏒₂(㏒ₐ(㏒₂3)) смысла не имеет.

D) (㏒₁₀а) отрицателен, поэтому  (㏒₁₀(㏒₁₀а)) уже не имеет смысла, а уж  ㏒₁₀(㏒₁₀(㏒₁₀а)) и тем более не имеет смысла.

Ответ В)

Дополнение. Если основание логарифма больше 1, а подлогарифмическое значение больше нуля, но меньше 1, то логарифм отрицат. и обратно, а если   основание логарифма больше нуля, но меньше 1, и подлогарифмическое значение больше нуля, но меньше 1, то логарифм положителен. или если оба больше единицы.