Question

Решите уравнение. 16x⁴+8x³+1 = 8x+16x²

Answer 1

$16x^4+8x^3+1=8x+16x^2\\ \\ 8x^3\cdot\Big(2x+1\Big)+1=8x\cdot \Big(2x+1\Big)$

Пусть $2x+1=t$. тогда $x=\dfrac{t-1}{2}$, мы получаем

$(t-1)^3t+1=4(t-1)t$

$t\Big(t^3-3t^2+3t-1\Big)+1-4t\Big(t-1\Big)=0$

$t^4-3t^3+3t^2-t+1-4t^2+4t=0\\ \\ t^4-3t^3-t^2+3t+1=0$

Поскольку $t=0$ не является корнем этого уравнения, то разделим обе части уравнения на $t^2$, мы получаем

$\left(t^2+\dfrac{1}{t^2}\right)-3\cdot \left(t-\dfrac{1}{t}\right)-1=0$

Замена $z=t-\dfrac{1}{t}$, получаем такое квадратное уравнение

$z^2+2-3z-1=0\\ \\ z^2-3z+1=0\\ \\ D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 1=5\\ \\ z_{1,2}=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}$

Далее вернёмся к обратной замене

$t-\dfrac{1}{t}=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}$

$2t^2-(3\pm\sqrt{5})t-2=0$

Решив как квадратное уравнение вы получите такие корни:

$t_{1,2}=\dfrac{3-\sqrt{5}\pm\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{4};~~~~ t_{3,4}=\dfrac{3+\sqrt{5}\pm\sqrt{30+6\sqrt{5}}}{4}$

Выполним снова обратную замену и найдём корни исходного уравнения:

$x_{1,2}=\dfrac{t_{1,2}}{2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3-\sqrt{5}\pm\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{8}-\dfrac{1}{2}=\boxed{\dfrac{-1-\sqrt{5}\pm\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{8}}$

$x_{3,4}=\dfrac{t_{3,4}}{2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3+\sqrt{5}\pm\sqrt{30+6\sqrt{5}}}{8}-\dfrac{1}{2}=\boxed{\dfrac{\sqrt{5}-1\pm\sqrt{30+6\sqrt{5}}}{8}}$