Question

Граната, брошенная с начальной скоростью v0 под углом α к горизонту, в верхней точке своей траектории разорвалась на множество осколков, которые в системе отсчета, связанной с гранатой, летят во все стороны с одинаковыми скоростями. Известно, что осколки падали на землю в течение времени ∆t. Через какое время после взрыва упал на землю самый первый осколок? Помогите пожалуйста!!! Даю 100 баллов

Answer 1

Ответ:

$t_H=\frac{\Delta t}{2}(\sqrt{1+\frac{4v_0^2sin^2\alpha }{\Delta t^2g^2}} -1)$

Объяснение:

Очевидно, что первым на землю упадет осколок, летящий вниз, последним - вверх. Рассчитаем их времена падения (для удобства временно примем направление оси у вниз)

-нижнего

$v't_H+\frac{gt_H^2}{2}-H=0$

решаем получившееся квадратное уравнение

$D=b^2-4ac=v'^2+4*\frac{g}{2}H =v'^2+2gH$

корни

$t_H=\frac{-b\pm\sqrt{D} }{2a}=\frac{-v'\pm\sqrt{v'^2+2gH} }{g}$

Отрицательное время отбрасываем (ясно что $v'<\sqrt{v'^2+2gH}$ при ненулевых H)

$t_H=\frac{\sqrt{v'^2+2gH} -v'}{g}$

-верхнего

$-v't_B+\frac{gt_B^2}{2}-H=0$

$D=v'^2+2gH$

$t_B=\frac{v'\pm\sqrt{v'^2+2gH} }{g}$

положительное время

$t_B=\frac{v'+\sqrt{v'^2+2gH} }{g}$

Интервал падения осколков

$\Delta t=t_B-t_H=\frac{v'+\sqrt{v'^2+2gH} }{g}-\frac{\sqrt{v'^2+2gH} -v'}{g}=\frac{2v'}{g}$

Откуда скорость осколков

$v'=\frac{g\Delta t}{2}$

Высоту подъема Н легко посчитать из известной формулы

$H=\frac{v_0^2sin^2\alpha }{2g}$

Тогда

$v't_H+\frac{gt^2}{2}=H$

или

$\frac{g\Delta t}{2}t_H+\frac{gt_H^2}{2}=\frac{v_0^2sin^2\alpha }{2g}$

Решать это уравнение еще раз нет надобности, оно уже решено

$t_H=\frac{\sqrt{v'^2+2gH} -v'}{g}=\frac{\sqrt{\frac{g^2\Delta t^2}{4} +v_0^2sin^2\alpha } -\frac{g\Delta t}{2} }{g}=\sqrt{\frac{\Delta t^2}{4}+\frac{v_0^2sin^2\alpha }{g^2} }-\frac{\Delta t}{2}=$

$=\frac{\Delta t}{2}(\sqrt{1+\frac{4v_0^2sin^2\alpha }{\Delta t^2g^2}} -1)$.