Question

Точка D - середина стороны AB, точка M - середина стороны BC треугольника ABC. Высота AH пересекает отрезок DM в точке K так, что DK=2KM . Найдите длину стороны BC, если AB=7 и AC=8.

Answer 1

Поскольку точки D и M соединяют отрезок середин AB и BC соответственно, то DM — средняя линия треугольника ABC.

По теореме Менелая:

$\dfrac{BH}{HM}\cdot \dfrac{MK}{DK}\cdot \dfrac{DA}{AB}=1~\Rightarrow~\dfrac{BH}{HM}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{DA}{2DA}=1~~\Rightarrow~~ \dfrac{BH}{HM}=4$

Пусть $BH=4x$ и $HM=x$, тогда $BM=MC=5x$.

По теореме Пифагора из прямоугольных тр-ков ABH и AHC

$AB^2=BH^2+AH^2\\ AC^2=AH^2+CH^2$

От первого равенства отнимем второе, получим

$AB^2-AC^2=BH^2-CH^2\\ \\ 7^2-8^2=(4x)^2-(6x)^2\\ \\ (7-8)\cdot (7+8)=(4x-6x)\cdot (4x+6x)\\ \\ 15=2x\cdot 10x\\ \\ x^2=\dfrac{3}{4}\\ \\ x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Получаем $BC=2BM=10x=10\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$