Question

ABC -прямоугольный треугольник. М э AC N принадлежит на продолжении стороны BC CM=BC, CN=AC BM перпендикулярна AN в точке L Найти LM

Answer 1

Поскольку $CN=AC$, то ΔACN — равнобедренный прямоугольный треугольник ⇒ ∠ANC = ∠NAC = 45°, значит прямоугольный треугольник ALM тоже равнобедренный ⇒ $AL=LM$. Тогда $AN=AC\sqrt{2}=5\sqrt{2}$ и $AM=LA\sqrt{2}$.

По теореме Менелая для треугольника $ACN:$

$\dfrac{NL}{AL}\cdot \dfrac{AM}{MC}\cdot \dfrac{BC}{BN}=1\\ \\ \dfrac{5\sqrt{2}-AL}{AL}\cdot \dfrac{AL\sqrt{2}}{5-LA}\cdot \dfrac{4}{4+5}=1\\ \\ \left(\dfrac{5\sqrt{2}}{AL}-1\right)\cdot \left(\dfrac{5}{AL\sqrt{2}}-1\right)^{-1}\cdot \dfrac{4}{9}=1\\ \\ \left(\dfrac{5\sqrt{2}}{AL}-1\right)\cdot \dfrac{AL\sqrt{2}}{5-AL\sqrt{2}}=\dfrac{9}{4}~~~\bigg|\cdot 4(5-AL\sqrt{2})\ne 0$

$40-4AL\sqrt{2}=45-9AL\sqrt{2}\\ \\ 5AL\sqrt{2}=5\\ \\ AL\sqrt{2}=1\\ \\ AL=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

То есть, $LM=AL=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$