Question

Каковы наибольшее и наименьшее значения функции y = $|\sqrt{2-x^{2} } - 2| + \sqrt{2-x^{2} } -2 +2x-x^{2}$ ?

Answer 1

$y = \left|\sqrt{2 - x^{2}} - 2 \right| + \sqrt{2 - x^{2}} - 2 + 2x - x^{2}$

$D(y): \ 2 - x^{2} \geq 0; \ x \in \left[-\sqrt{2}; \ \sqrt{2} \right]$

Раскроем модуль $\left|\sqrt{2 - x^{2}} - 2 \right|$ по правилу: $|f(x)| = \displaystyle \left \{ {{f(x), \ x \geq 0, \ } \atop {-f(x), \ x < 0}} \right.$

Если $\sqrt{2 - x^{2}} - 2 \geq 0; ~~ \sqrt{2 - x^{2}} \geq 2$

$\displaystyle \left \{ {{2 - x^{2} \geq 4} \atop {2 - x^{2} \geq 0}} \right. ~~~ \left \{ {{x^{2} \leq -2} \atop {x^{2} \leq 2 \ \ }} \right. ~~~ \left \{ {{x \in \varnothing \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ \ \ \ \ } \atop {x \in [-\sqrt{2}; \ \sqrt{2}]}} \right. ~~~ x \in \varnothing$

Таким образом, $\sqrt{2 - x^{2}} - 2$ может быть только отрицательным.

Если $\sqrt{2 - x^{2}} - 2 < 0; ~~ \sqrt{2 - x^{2}} < 2$

$\displaystyle \left \{ {{2 - x^{2} < 4} \atop {2 - x^{2} \geq 0}} \right. ~~~ \left \{ {{x^{2} > -2} \atop {x^{2} \leq 2 \ \ }} \right. ~~~ \left \{ {{x \in \mathbb{R} \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ \ \ \ \ } \atop {x \in [-\sqrt{2}; \ \sqrt{2}]}} \right.~~~ x \in[-\sqrt{2}; \ \sqrt{2}]$

Следовательно,

$y = -\left(\sqrt{2 - x^{2}} - 2 \right) + \sqrt{2 - x^{2}} - 2 + 2x - x^{2}$

$y = -\sqrt{2 - x^{2}} + 2 + \sqrt{2 - x^{2}} - 2 + 2x - x^{2}$

$y = 2x - x^{2}$

Имеем квадратичную функцию, графиком которой является парабола, с ветвями, направленными вниз.

У такой функции наибольшим значением будет вершина параболы, а наименьшим — на ее концах из $D(y)$.

Определим абсциссу вершины параболы:

$x_{0} = \dfrac{-2}{-2} = 1 < \sqrt{2}$

Определим ординату вершины параболы:

$y_{0} = 2 \cdot 1 - 1^{2} = 1$

Таким образом, наибольшим значением функции на отрезке $\left[-\sqrt{2}; \ \sqrt{2} \right]$ будет $y(1) = 1$

Определим значение функции на концах отрезка $\left[-\sqrt{2}; \ \sqrt{2} \right]$

$y(-\sqrt{2}) = 2 \cdot (-\sqrt{2}) - (-\sqrt{2})^{2} = - 2\sqrt{2}- 2 < 0$

$y(\sqrt{2}) = 2 \cdot \sqrt{2} - (\sqrt{2})^{2} = 2\sqrt{2} - 2 > 0$

Ответ: $\displaystyle \max_{[-\sqrt{2}; \ \sqrt{2}]}y = y(1) = 1; \ \displaystyle \min_{[-\sqrt{2}; \ \sqrt{2}]}y = y(-\sqrt{2}) = -2\sqrt{2} - 2$