Question

№6. Решите уравнение.
$\ln{(1+\ln{x})} =x-1$

Answer 1

Исследуем функцию $f(x)=\ln(1+\ln x)-x+1$ на ее области определения: x є (1/e; +∞).

$f'(x)=(\ln(1+\ln x)-x+1)'=\frac{1}{\ln x +1}\cdot\frac{1}{x}-1=\frac{1-x(\ln x+1)}{x(\ln x+1)} = 0$

$1-x(\ln x+1)=0;\\\\1=x\ln x + x$

Слева имеем постоянную функцию, справа - монотонно возрастающую на области определения, поэтому уравнение имеет не более одного решения. Очевидно, что x = 1 - корень уравнения, а также - критическая точка функции $f(x)=\ln(1+\ln x)-x+1$

Вычислим знаки производной на интервалах (1/e; 1) и (1; +∞): возьмем, к примеру, числа 1/2 и e.

Имеем: $f'(e)=\frac{1-e(\ln e + 1)}{e(\ln e+1)}=\frac{1-2e}{2e}<0$, т.к. 1 - 2e < 0.

$f'(\frac{1}{2})=\frac{1-0,5(\ln0,5+1)}{e(\ln0,5+1)}$

$\ln0,5+1=1-\ln2;\\\\1<2<e\Rightarrow 0<\ln2<1\Rightarrow 0<1-\ln2<1\Rightarrow 0<0,5(\ln0,5+1)<0,5$

А из этого следует что числитель дроби положителен, что можно сказать и про знаменатель. Тогда f'(0,5)>0

Т.к. на интервале (1/e; 1) f'(x) > 0 , а на интервале (1; +∞) f'(x) < 0, x = 1 - точка максимума. Найдем значение максимума:\

$f(1)=\ln(1+\ln1)-1+1=\ln(1+0)-0=\ln1-0=0-0=0$

Т.е. максимум равен f(1) = 0. Уже очевидно, что других корней уравнение иметь не будет, т.к. ни при каких других x максимум - 0 - достигаться не будет. А значит единственный корень уравнения - x = 1.

ОТВЕТ: x = 1

Answer 2

Ответ:

х = 1

Объяснение: