Question

Помогите решить задание с параметром.

Answer 1

Рассмотрим функцию $f(x)=2\cos^2x+4\sin x\cos x-4\sin^2x+a$, ее можно переписать следующим образом: $f(x)=2(\cos^2x-\sin^2x)+2(2\sin x\cos x)-2\sin^2 x+a=3\cos2x+2\sin2x+a-1$. Переформулируем задачу: найти все значения параметра $a$, при каждом из которых максимальное значение функции $f(x)$ не превосходит 5, а минимальное не меньше -5.

Заметим, что $3\cos2x+2\sin2x=\sqrt{13}\sin(2x+\arcsin\frac{3}{\sqrt{13}}) \leq \sqrt{13}$. Теперь максимальное и минимальное значения легко определить: $f(x)\leq \sqrt{13}+a-1$, аналогично минимальное: $f(x)\geq -\sqrt{13}+a-1$. Значит, $\sqrt{13}+a-1\leq 5 \Leftrightarrow a\leq 6-\sqrt{13}$ и $-\sqrt{13}+a-1\geq -5 \Leftrightarrow a\geq \sqrt{13}-4$, окончательно: $a\in[\sqrt{13}-4,\; 6-\sqrt{13}]$