Question

Траляля задумал целые числа b​ 1​ , b​ 2​ , ..., b​ 7​ , а Труляля задумал числа a​ 1​ , a​ 2​ , ..., a​ 7​ .Позжеонивыясняли,чтозадумалиодинитотженаборчисел, просто числа в них взяты в разном порядке. Чётно или нечётно число (a​ 1​ – b​ 1​ )(a​ 2​ – b​ 2​ )...(a​ 7​ – b​ 7​ )? 4. В записи натурального числа нет девяток. Чеширский кот взял несколько последних цифр этого числа, увеличил их на 1, и сложил получившееся число с изначальным. Могло ли в сумме получится число из одних четверок? Если да - приведите пример, если нет докажите невозможность. 5. Алиса, Белая королева и Белый Кролик играют в шахматы на"вылет", то есть игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге Алиса сыграла 10 партий, Белая Королева – 15, а Белый Кролик – 17. Кто из них проиграл во второй партии?

Answer 1

Заменим набор данный набор чисел на остатки от деления на 2, которые дают числа набора. Числа у нас разбиты на пары $a_{i},\; b_{i}$, коих всего 7. Поскольку всего чисел в наборе 7, то либо только 1, либо только 0 нечетное количество. Примем без ограничения общности, что 1 нечетное количество. Тогда найдется хотя бы одна пара $a_{i},\;b_{i}$, в которой оба числа нечетны. Но в таком случае число $a_{i}-b_{i}$ четно, и произведение четно.

Ответ: четно.

Пусть рассматривается число $a$. Увеличенные на 1 некоторые последние цифры числа отличаются по четности от $a$. Поэтому их сумма с рассматриваемым числом нечетна, значит, числа из 4 получиться не могло.

Ответ: нет.

Посчитаем общее количество партий. Число 10+15+17=42 равно удвоенному количеству партий (поскольку, партия, сыгранная, скажем, между Кроликом и Алисой учитывается как в числе 10, так и в числе 17 ровно один раз, итого мы дважды посчитали одну и ту же партию). Значит, всего было сыграна 21 партия.

Заметим, что если игрок проигрывает все матчи, то он играет в каждой второй игре. Поэтому худший игрок сыграет хотя бы $[21/2]=10$ матчей (причем 10 в том случае, если он начал играть во второй игре и проиграл). Ровно столько сыграла Алиса. Заключаем, что она начала во второй игре и проиграла все матчи. Значит, проиграла и во второй партии.

Ответ: Алиса