Question

№5. Решите тригонометрическое неравенство. $\sin{(2020x)} \cos{x}\ge \dfrac{2020}{1408} +\sin{x}$

Answer 1

Заметим, что $\forall x:|\cos x|\geq \sin(2020x)\cos x$. Теперь рассмотрим два случая:

1) $\cos x\geq 0$. Докажем справедливость неравенства $\frac{2020}{1408}+\sin x>\cos x$ для всех таких переменных. Заметим, что $\cos x-\sin x=\sqrt{2}\sin(\pi/4-x)\leq \sqrt{2}<\frac{2020}{1408}$, последнее неравенство получилось следующим образом: возведем обе части неравенства в квадрат и вычтем единицу, получим: $1<\frac{2020^2-1408^2}{1408^2}=\frac{612\times3428}{1408\times 1408}=\frac{153}{352}(2+\frac{153}{352})=\frac{857\times 153}{352^2}$, последняя величина больше $\frac{860\times 150}{355\times 355}=\frac{129000}{(360-5)^2}=\frac{129000}{36^2\times 10^2-2\times360\times 5+25}=\frac{129000}{3600(36-1)+25}=\frac{129000}{126025}$, поэтому больше 1.

2) $\cos x<0$. Тогда нужно доказать $\frac{2020}{1408}+\sin x>-\cos x$. Но $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos(x-\pi/4)\geq -\sqrt{2}>-\frac{2020}{1408}$.

Объединив эти случаи, приходим к неравенству $|\cos x|<\frac{2020}{1408}+\sin x$, верному для любого $x$. Итого: $\frac{2020}{1408}+\sin x>|\cos x|\geq \sin(2020x)\cos x$, значит исходное неравенство не выполнено ни при каком