Question

Из точки A к окружности радиусом R проводится касательная AM (M — точка касания). Секущая, проходящая через точку A, пересекает окружность в точках K и L, причём L — середина отрезка AK, а угол AMK равен 45 градусов. Найдите площадь треугольника AMK.

Answer 1

Ответ:

$\boldsymbol{S_{AMK}=\dfrac{R^2(\sqrt{3}-1)}{2}}$

Объяснение:

∠ОМА = 90° по свойству радиуса, проведенного в точку касания.

∠АМК = 45° по условию, значит ∠ОМК = 45°.

Треугольник ОМК равнобедренный (ОМ = ОК = R), ⇒

∠ОКМ = ∠ОМК = 45°, тогда ∠МОК = 90°.

КМ = R√2 (гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника)

По свойству отрезков касательной и секущей (квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей, проведенной из той же точки):

АМ² = AL · AK

a² = b · 2b = 2b²

$b=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$

Из треугольника АМК по теореме косинусов:

AK² = AM² + KM² - 2AM · KM · sin45°

$4b^2=a^2+2R^2-2a\cdot R\sqrt{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$4\cdot \dfrac{a^2}{2}=a^2+2R^2-2aR$

$2a^2 = a^2 + 2R^2-2aR$

$a^2+2Ra-2R^2=0$

Решим уравнение относительно а:

$\dfrac{D}{4}=R^2+2R^2=3R^2$

$a=-R+R\sqrt{3}=R(\sqrt{3}-1)$   или   $a=-R-R\sqrt{3}$ не подходит по смыслу.

Площадь треугольника можно найти как половину произведения двух сторон на синус угла между ними:

$S_{AMK}=\dfrac{1}{2}AM\cdot MK\cdot sin45^\circ$

$S_{AMK}=\dfrac{1}{2}\cdot R(\sqrt{3}-1)\cdot R\sqrt{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\boldsymbol{S_{AMK}=\dfrac{R^2(\sqrt{3}-1)}{2}}$