Question

Биссектриса AD треугольника ABC равна отрезку DC, AC=2AB. Найдите величину угла ADB в градусах.

Answer 1

По свойству биссектрисы: $\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{2}~~\Rightarrow~~AD=2BD$.

Обозначим $\angle ADB=\alpha$, тогда $\angle ADC=180^\circ -\alpha$ (как смежные).

Далее воспользуемся теоремой косинусов для треугольников BDA и ADC, мы имеем:

$AC^2=AD^2+CD^2-2AD\cdot CD\cos \big(180^\circ -\alpha\big)=2AD^2\big(1+\cos \alpha\big)$

$AB^2=BD^2+AD^2-2BD\cdot AD\cos \alpha =\dfrac{5AD^2}{4}-AD^2\cos \alpha$

Второе равенство подставляем в первое, приняв во внимая AC=2AB

$4\left(\dfrac{5AD^2}{4}-AD^2\cos \alpha\right)=2AD^2\big(1+\cos \alpha\big)\\ \\ AD^2\big(5-4\cos \alpha\big)=2AD^2\big(1+\cos \alpha\big)\\ \\ 5-4\cos \alpha=2+2\cos \alpha\\ \\ 6\cos \alpha=3\\ \\ \cos \alpha=\dfrac{1}{2}$

$\alpha =\arccos\frac{1}{2}=60^\circ$

Ответ: 60 градусов.

Answer 2

https://znanija.com/task/37801192

Биссектриса AD треугольника ABC равна отрезку  DC , AC=2AB. Найдите величину угла ADB в градусах.

Дано: ΔABC ; ∠BAD =∠CAD (AD Биссектриса) ; AD=DC ; AC=2AB                                                           - - - - - - - - - - - - - -

∠ADB  -?

Ответ:    60°

Объяснение:  обозначаем ∠C=α   ( α _угол острый )

AD = DC ⇒ ∠DAC =∠C=α ;  ∠ADB= ∠DAC+∠C = 2α

(∠ADB внешний угол  треугольника  ADC ) .  

∠BAC = 2∠DAC =2α ; ∠B =180° -(∠BAC+∠C) = 180°-3α.

По теореме синусов:   AB / sin∠C = AC /sin∠B  ⇔

AB / sinα = 2AB/sin (180° - 3α) ⇔ AB / sinα = 2AB / sin3α ⇔

sin3α=2sinα   ⇔sinα(3 -4sin²α) =2sinα  || sinα≠0 || ⇔ 3 - 4sin²α = 2 ⇔

4sin²α = 1   ⇔ sinα=1/2          α=30°         ∠ADB =2α = 60° .

(∠C=30° ; ∠A =60° ; ∠B =90°)