Question

Решите уравнение: $cos(x)-sin(x)cos(4x)=\sqrt{2}$

Answer 1

Заметим, что $\sin x\neq 0$ (при этих $x$ левая сторона не равна правой).

Теперь рассмотрим два случая:

1) $\sin x>0$. Из этого следует, что $\sin x(1+\cos4x)\geq 0 \Leftrightarrow \sin x\geq -\sin x \cos4x \Leftrightarrow \cos x+\sin x\geq \cos x-\sin x\cos4x$. Обратим внимание на последнюю часть неравенства: $\sqrt{2}\cos(x-\pi/4)=\cos x+\sin x\geq \cos x-\sin x\cos4x=\sqrt{2}$, откуда $\sqrt{2}\cos(x-\pi/4)\geq \sqrt{2} \Leftrightarrow \cos(x-\pi/4)\geq 1$, что верно только при $x=\frac{\pi}{4}+2\pi z$, синус при этих значениях положителен.

2) $\sin x<0$. Поступаем аналогично: $\sin x(-1+\cos4x)\geq 0 \Leftrightarrow -\sin x+\sin x \cos4x\geq 0\Leftrightarrow \cos x-\sin x\geq \cos x-\sin x\cos4x$

откуда $\sqrt{2}\cos(x+\pi/4)=\cos x-\sin x\geq \cos x-\sin x\cos4x=\sqrt{2}$, наконец, $\cos(x+\pi/4)=1$, получаем $x=\frac{7\pi}{4}+2\pi n$.

Ответ: $\pi/4+2\pi z,\; 7\pi/4+2\pi n$