Question

Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение не имеет положительных корней​

Answer 1

Ответ:

$a \geq 0$

Пошаговое объяснение:

Рассмотрим 2 случая:

1-й случай: $a < 0$.

Заметим, что тогда дискриминант больше 0

$D = (a^2 - a + 1)^2 + (-4a)(a^2 + 1) > 0$ так как

$(a^2 - a + 1)^2 \geq 0,\ (-4a) > 0,\ (a^2 + 1) > 0.$

Значит уравнение имеет вещественные корни $x_1, x_2.$

По теореме Виета:

$x_1x_2 = a^3 + a = a(a^2 + 1) < 0$, значит $x_1, x_2$ -- разных знаков, то есть лежат по разные стороны от нуля. Что не удовлетваряет требованиям задачи. Значит никакие $a < 0$ не подходят.

2-й случай: $a \geq 0.$

Рассмотрим 2 подслучая:

2.1) оказалось, что дискриминант $D < 0$.

Тогда уравнение не имеет положительных корней (потому что оно не имеет вещественных корней).

2.2) оказалось, что $D \geq 0.$ Тогда уравнение имеет корни (возможно, кратные). Обозначим их $x_1, x_2$. Заметим, что эти корни одного знака, так как их произведение (по теореме Виета):

$x_1x_2 = a(a^2 + 1) \geq 0$. То есть они лежат по одну сторону от нуля. Чтобы понять по какую сторону от 0 они лежат, посмотрим на их сумму и опять воспользуемся теоремой Виета:

$x_1 + x_2 = - (a^2 - a + 1) = -(a - \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{4} < 0$, значит оба корня $\leq 0$.

Это значит, что все $a \geq 0$ подходят.