Question

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет ровно 2 решения​

Answer 1

1. Пусть $f=\sqrt{x}$, $g=\sqrt{3-x}$. Заметим, что $f'$ и $g'$ монотонно убывают, значит, $(f+g)'=f'+g'$ функция монотонная, следовательно, имеет не более одного корня. Из этого следует, что у уравнения $f+g=a,\; a\in\mathbb{R}$ не более двух корней.

2. Заметим, что если $x_{0}$ является решением, то $3-x_{0}$ тоже. Очевидно, что $x=3/2$ является осью симметрии (причем единственной) графика $f+g$. Иначе говоря, пара $x_{0},\; 3-x_{0}$ исчерпывает все решения указанного уравнения, если таковые имеются. Значит, достаточно потребовать, чтобы $x_{0}\neq3-x_{0} \Leftrightarrow x_{0}\neq 3/2$. Итак, $2a$ пробегает область значения рассматриваемой функции, кроме того $a$, которому соответствует $x=3/2$ (это $2\sqrt{3/2}$).

3. Функция непрерывна, поэтому достаточно посмотреть на наименьшее и наибольшее значения. Наименьшее значение достигается в 0 (то есть значение $\sqrt{3}$, а наибольшее в $x=3/2$. Получаем ответ:   $2a\in [\sqrt{3},\;2\sqrt{3/2})\Leftrightarrow a\in[\sqrt{3}/2,\;\sqrt{3/2})$

Answer 2

Графический способ решения.