Question

Найдите площадь треугольника, ограниченного прямыми y+x=0, y−x−4=0 и 2x+y−4=0.

Answer 1

Найдем точки пересечения прямых:

$\left \{ {{y+x=0} \atop {y-x=4}} \right. \left \{ {{y+x=0} \atop {2x+y=4}} \right. \left \{ {{y-x=4} \atop {2x+y=4}} \right.$

(-2;2)  или (4;-4) или (0;4)

На [-2:0]  фигура ограничена    прямыми y=x+4 сверху  и снизу y=-x

На [0:4]  фигура ограничена    прямыми y=-2x+4 сверху  и снизу y=-x

S=∫⁰₋₂(x+4-(-x))dx+∫⁴₀(-2x+4-(-x))dx=

=∫⁰₋₂(2x+4)dx+∫⁴₀(-x+4)dx=

=(x²+4x)|⁰₋₂ + ((-x²/2)+4x)|⁴₀=

=0-(4-8)+(-8+16)=4+8=12

Answer 2

$y+x=0\ \ ,\ \ y-x-4=0\ \ ,\ \ 2x+y-4=0\\\\y=-x\ \ ,\ \ y=x+4\ \ ,\ \ y=-2x+4$

Три прямые при пересечении образуют треугольник. Достроим его до прямоугольника размером 6 на 8 . Тогда площадь заданного треугольника равна разности площадей прямоугольника и трёх прямоугольных треугольников (розового, жёлтого и зелёного).

$S=6\cdot 8-\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6-\dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 2-\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 8=48-18-2-16=12$