Question

Написать три первых члена степенного ряда по заданному общему числу; найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах этого интервала

Answer 1

Ответ:

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \dfrac{(n+1)\, x^{n}}{3^{n}\, (n+2)}=\dfrac{2x}{9}+\dfrac{3x^2}{36}+\dfrac{4x^3}{135}+...$

$\lim\limits _{n \to \infty}\dfrac{|u_{n+1}|}{|u_{n}|}=\lim\limits _{n \to \infty}\dfrac{(n+2)\, |x|^{n+1}}{3^{n+1}(n+3)}\cdot \dfrac{3^{n}\, (n+2)}{(n+1)\, |x|^{n}}=\dfrac{|x|}{3}<1\\\\|x|<3\ \ \ \to \ \ \ -3<x<3\\\\x=3:\ \ \sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \dfrac{(n+1)\, 3^{n}}{3^{n}\, (n+2)}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \dfrac{n+1}{n+2}\ ,\ \ \ \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{n+1}{n+2}=1\ne 0\ ,$

Ряд расходится, т.к. не выполняется необходимый признак сходимости.

$x=-3:\ \ \sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \dfrac{(n+1)\, (-3)^{n}}{3^{n}\, (n+2)}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \dfrac{(-1)^{n}\cdot (n+1)}{n+2}$

Знакочередующийся ряд расходится, т.к. не выполняется признак Лейбница.

Ответ:  интервал сходимости  $x\in (-3\, ;\, 3\, )\ .$