Question

т3) Сколько корней имеет уравнение |cosx| + корень(sin2x) =0 на отрезке [0; 2пи]

Заранее большое спасибо!​

Answer 1

$|cos(x)| + \sqrt{sin(2x)} = 0$

Можно решить двумя способами. Рассмотрим первый:

$\left \{ {{|cos(x)| \geq 0} \atop {\sqrt{sin(2x)}\geq 0 }} \right. => |cos(x)| + \sqrt{sin(2x)} \geq 0$

Исходя из этого понимаем, что выражение равно нулю только в том случае, если оба неотрицательных слагаемых равны нулю:

$\left \{ {{|cos(x)| = 0} \atop {\sqrt{sin(2x)} = 0}} \right. => \left \{ {{cos(x) = 0} \atop {sin(2x) = 0}} \right. => \left \{ {{x = \frac{\pi}{2} + \pi n } \atop {2x = \pi k}} \right. => \left \{ {{x = \frac{\pi}{2} + \pi n } \atop {x = \frac{\pi}{2} k}} \right. => x = \frac{\pi}{2} + \pi q; n, k, q \in Z$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi q, q \in Z$

Второй способ:

$\sqrt{sin(2x)} = -|cos(x)|$

Данное уравнение равносильно следующей системе:

$\left \{ {{sin(2x) = (-|cos(x)|)^2} \atop {-|cos(x)| \geq 0}} \right.$

Так как $|x|^2 = x^2$, то:

$\left \{ {{sin(2x) = cos^2(x)} \atop {|cos(x)| \leq 0}} \right.$

Модуль - это число неотрицательное. А это значит, что неравенство системы имеет смысл только тогда, когда cos(x) = 0:

$\left \{ {{sin(2x) = cos^2(x)} \atop {cos(x) = 0}} \right. => \left \{ {{2sin(x)cos(x) = cos^2(x)} \atop {cos(x) = 0}} \right. => \left \{ {{cos^2(x) - 2sin(x)cos(x) = 0} \atop {cos(x)=0}} \right.$

$\left \{ {{cos(x)(cos(x)-2sin(x)) = 0} \atop {cos(x) = 0}} \right.$

Первое уравнение системы, очевидно, имеет решение cos(x) = 0. Ответ получаем тот же.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi b, b \in Z$