Question

Нужна помощь! Как можно решить такую систему?

Answer 1

$log_{x}2\leq -1\Rightarrow log_{x}2\leq -1log_{x}x\Rightarrow log_{x}2\leq log_{x}x^{-1}\Rightarrow log_{x}2\leq log_{x}\frac{1}{x}$

или

$\left \{ {{log_{x}2>0} \atop {log_{x}2<1}} \right. \left \{ {{log_{x}2>log_{x}1} \atop {log_{x}2<log_{x}x}} \right.$

Первый случай

Если 0 < x < 1

логарифмическая функция убывает поэтому

$\Rightarrow log_{x}2\leq log_{x}\frac{1}{x}\Rightarrow 2\geq \frac{1}{x}$  ⇒  $\frac{2x-1}{x}\geq 0$  и  так как 0 < x < 1⇒  $x\geq \frac{1}{2}$

или

$\left \{ {{log_{x}2>log_{x}1} \atop {log_{x}2<log_{x}x}} \right.\Rightarrow \left \{ {2<1} \atop {2>x}} \right.$  

первое неравенство системы неверно, значит система не имеет решений

Ответ совокупности в первом случае:

$\frac{1}{2}\leq x < 1$

Второй случай

Если  x > 1

логарифмическая функция возрастает поэтому

$\Rightarrow log_{x}2\leq log_{x}\frac{1}{x}\Rightarrow 2\leq \frac{1}{x}$  ⇒$\frac{2x-1}{x}\leq 0$  и так как  x>1 ⇒ $x\leq \frac{1}{2}$  .

противоречит требованию x > 1

или

$\left \{ {{log_{x}2>log_{x}1} \atop {log_{x}2<log_{x}x}} \right.\Rightarrow \left \{ {2>1} \atop {2<x}} \right.\Rightarrow x > 2$

Ответ совокупности во втором случае:

x > 2

О т в е т $[\frac{1}{2};1)\cup (2; +\infty)$