Question

найти экстремумы функции двух переменных$z(x,y)=x^{2} +3*x*y+y^{2} -x-4*y+1$

Answer 1

Ответ:  экстремума нет .

$z(x,y)=x^2+3xy+y^2-x-4y+1\\\\z'_{x}=2x+3y-1=0\ \ \ \ \ \ \ 2x+3y=1\, |\cdot 3\ \ \ \ \ \ \ \ 2x=1-3y\ \ \ \ \ x=2\\z'_{y}=3x+2y-4=0\ \ \ \ \ \ \ 3x+2y=4\, |\cdot (-2)\ \ \ \ 5y=-5\ ,\ \ \ \ \ \ \ y=-1\\\\M_0(2;-1)\\\\z''_{xx}=2\ \ ,\ \ z''_{xy}=3\ \ ,\ \ z''_{yy}=2\\\\A=z''_{xx}(M_0)=2\ \ ,\ \ B=z''_{xy}(M_0)=3\ \ ,\ \ C=z''_{yy}(M_0)=2\\\\D=AC-B^2=2\cdot 2-3^2=4-9=-5<0\ \ \ \Rightarrow$

В точке  $M_0(2;-1)$  экстремума нет .