Question

3 задачи Всё на скрине

Answer 1

Ответ:

Попытаюсь решить.

1. Сразу ясно, что частица находится в параболической потенциальной яме, в таких условиях она является гармоническим осциллятором.

Функция Лагранжа для такой частицы

$L=E_k-U(x)=\frac{m}{2}\frac{dx}{dt}-\frac{m\omega ^2x^2}{2}$

Уравнение Эйлера-Лагранжа

$m\frac{d^2x}{dt^2}+\nabla U=0$

$m\frac{d^2x}{dt^2}+m\omega^2x=0$

$\frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2x=0$ - классическое уравнение гармонического осциллятора, о чем было сказано в начале.

Его общее решение

$x(t)=Asin(\omega t+\phi_0)$

Решим задачу Коши для указанных условий (примем начальную фазу для простоты за ноль)

1) Начальное положение частицы - положение равновесия, но есть отличная от нуля начальная скорость $x_0'$

$\frac{dx(0)}{dt} =x_0'$

$A\omega cos(\omega *0)=x'_0$

$A=\frac{x_0'}{\omega}$

Частное решение $x(t)=\frac{x_0'}{\omega}sin(\omega t)$

2) Здесь наоборот, частица выведена из положения равновесия, но не имеет начальной скорости, значит амплитуда сходу будет равна $x_0$, а частное решение будет иметь вид

$x(t)=x_0sin(\omega t)$

2) Момент инерции вычисляется как интеграл следующего вида

$J=\int\ {r^2} \, dm=\int\ {\rho r^2} \, dV$

Где dV - объем цилиндрического коаксиального слоя толщиной dr

$dV=2\pi Hrdr$

Окончательно

$J=\int\limits^R_0 {(2\pi\rho Hr^3)} \, dr= 2\pi \rho H \int\limits^R_0 {r^3} \, dr =2\pi \rho H \frac{r^4}{4}|_0^R=\frac{1}{2}\pi \rho HR^4$

3.

Центростремительное ускорение по внешнему радиусу тора должно совпасть с g₀

$\omega ^2R=g_0$

Требуемая угловая частота вращения

$\omega=\sqrt{\frac{g_0}{R} }$

Период обращения

$T=\frac{2\pi }{\omega} =2\pi \sqrt{\frac{R}{g_0} }=2\pi \sqrt{\frac{32}{g_0} }$

Частота обращения

$n=\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi } \sqrt{\frac{g_0}{32} }$.