Question

х^2 log 243 (4-x)<= log 3 (x-4)^2

Answer 1

Ответ:

$x^2\cdot log_{243}(4-x)\leq log_3(x-4)^2\ \ ,\\\\ODZ:\ \ \left\{\begin{array}{ccc}4-x>0\\(x-4)^2>0\end{array}\right\ \left\{\begin{array}{ccc}x<4\\x\ne 4\end{array}\right\ \ \to \ \ x<4\\\\x^2\cdot log_{3^5}(4-x)\leq 2log_3|x-4|\ \ ,\ \ \ \ (x-4)<0\ \ \to \ \ |x-4|=(4-x)\\\\\dfrac{x^2}{5}\cdot log_3(4-x)-2log_3(4-x)\leq 0\ ,\\\\log_3(4-x)\cdot \Big(\dfrac{x^2}{5}-2\Big)\leq 0$

Используем метод рационализации, так как  $log_3\, t$  функция возрастающая , то знак   $log_3\, t$  совпадает со знаком  ( t-1 ) . Знак  $log_3(4-x)$  совпадает со знаком  $(\, (4-x)-1)=3-x\ .$

$(3-x)\cdot \dfrac{x^2-10}{5}\leq 0\ \ \to \ \ \ (x-3)(x-\sqrt{10})(x+\sqrt{10})\geq 0\ ,\ (x<4)\\\\znaki:\ \ ---[\, -\sqrt{10}\, ]+++[\, 3\, ]---[\, \sqrt{10}\, ]+++(4)\\\\\underline {\ x\in [-\sqrt{10}\, ;3\, ]\cup [\, \sqrt{10}\, ;\, 4\, )\ }$