Question

Доказать, что для всех натуральных n верно неравенство:

Answer 1

Пусть последовательность $\{a_{n}\}$ такова, что для всех $k\geq m$ выполнено неравенство $\sqrt{2a_{k+1}}\leq a_{k$. Тогда верно неравенство $\sqrt{a_{1}^3+\sqrt{a_{2}^3+...+\sqrt{a_{n}^3}}}\leq \sqrt{a_{1}^3+\sqrt{a_{2}^3+...+\sqrt{2a_{m}^3}}}$.  Это легко видеть, заменяя члены с использованием неравенства.

В нашем случае $a_{n}=n^3$, неравенство $\sqrt{2(k+1)^3}\leq k^3$ верно для всех натуральных $k\geq 3$. Значит, искомая сумма не превосходит $\sqrt{1^3+\sqrt{2^3+\sqrt{2\times3^3}}}<\sqrt{1^3+\sqrt{2^3+\sqrt{64}}}<\sqrt{5}<3$. Для $n=1,\; n=2$ очевидно.