Question

Сторона квадрата ABCD равна a. На стороне AD лежит точка K, а на продолжении стороны AB за точкой B лежит точка L. Чему равна длина отрезка AL, если ∠ACK=∠ALK, и AK=b?

Answer 1

Сторона квадрата ABCD равна a. На стороне AD лежит точка K, а на продолжении стороны AB за точкой B лежит точка L. Чему равна длина отрезка AL, если ∠ACK=∠ALK, и AK=b?

Объяснение:

Пусть ∠АLК=α

1) ΔАКL -прямоугольный,  tg∠АLК=$\frac{AK}{AL}$  , AL=в / tgα.

2)ΔACD  -прямоугольный, АС=а√2, по т. Пифагора.

ΔКCD  -прямоугольный, по т. Пифагора,  КС=√(а²+(а-в)²).

3)ΔACК,  угол ∠АСК=α.

По т. косинусов выразим cosα :

АК²=АС²+КС²-2АС*КС*cosα,

в²=2а²+а²+(а-в)²-2*а√2*√(а²+(а-в)²)*cosα,

2*а√2*√(а²+(а-в)²)*cosα =-в²+2а²+а²+(а-в)² ,

2*а√2*√(а²+(а-в)²)*cosα =-в²+4а²-2ав+в² ,

2*а√2*√(а²+(а-в)²)*cosα =2а(2а-в) ,

cosα = $\frac{2a(2a-b)}{2\sqrt{2}*a*\sqrt{a^{2}+(a-b)^{2} } }$

cosα = $\frac{2a-b}{\sqrt{2} *\sqrt{a^{2}+(a-b)^{2} } }$ , tg²α=1:( cos²α)-1  , tgα =$\sqrt{\frac{2*(a^{2}+(a-b) ^{2} ) }{(2a-b)^{2} } -1}$ ,

tgα =$\sqrt{\frac{4a^{2}-4ab+2b^{2}-4a^{2} +4ab-b^{2} }{4a^{2}-4ab+b^{2} } }$ =$\sqrt{\frac{b^{2} }{(2a-b)^{2} } } = \sqrt{(\frac{b}{(2a-b)})^{2} } =\frac{b}{2a-b}$

4)AL=в/tgα ,  AL=в: $\frac{b}{2a-b}$ ,  AL=$\frac{b*(2a-b)}{b}$  , AL=2a-b .