На диаметре 2R полуокружности построен
правильный треугольник, сторона которого равна диаметру. Треугольник расположен по ту же сторону от диаметра, что и полуокружность. Вычислить площадь той части треугольника, которая лежит вне круга.
Ответы
Ответ:
R^2*sqrt(3)/2- pi*R^2/6
Пошаговое объяснение:
Пусть дан треугольник АВС. Диаметр окружности ВС =2R.
Пусть стороны треугольника АС и АВ пересекаются с окружностью соответственно в точках К и D.
Соединим точки K и D отрезком, соединим также K и D с центром окружности О.
Тогда площадь искомой фигуры- площадь треугольника AKD минус площадь малого сегмента , ограниченного хордой KD.
Найдем площадь треугольника АКD. Sakd= Sabc-Scbdk (1)
Sabc=(2R)^2*sqrt(3)/2/2= R^2*sqrt(3) (2)
Заметим, что CBDK- равнобедренная трапеция с острыми углами при основании =60 градусов.
Заметим также, что поскольку ОС=ОК=R, а угол С=60 градусов, то треугольник ОСК - равносторонний с длиной стороны R.
То же самое можно сказать и о треугольнике ODB.
Тогда КС=BD=R. Проведем высоту трапеции CBDK и треугольника KOC КН. КН= R*sin60=R*sqrt(3)/2, a CH=R/2 .
Тогда DK= 2*R-R/2-R/2=R
Тогда Scbdk= (BC+ DK)*KH/2= (2R+R)*R*sqrt(3)/2/2= 3R^2*sqrt(3)/4 (3)
Тогда , подставив в формулу (1) формулы (2) и (3), получим
Sakd= R^2*sqrt(3)- 3R^2*sqrt(3)/4 =R^2*sqrt(3)/4 (4)
Найдем теперь площадь малого сегмента ограниченного хордой KD Ssegm= S sekt kod- Sтреуг kod.
Найдем площадь малого сектора KOD.
Заметим , что угол KOD=60 град , так как КОС= DOB=60 град
Тогда S sekt kod= pi*R^2*60/360=pi*R^2/6 (5)
Sтреуг kod= R^2*sqrt(3)/4 (6) ( Треугольник KOD- равносторонний с длиной стороны R)
Тогда Ssegm= S sekt kod- Sтреуг kod.= pi*R^2/6 -R^2*sqrt(3)/4 =
=R^2*(pi/6-sqrt(3)/4) (7)
Тогда площадь искомой фигуры (4)- (7)
S= R^2*sqrt(3)/4- pi*R^2/6 +R^2*sqrt(3)/4 = R^2*sqrt(3)/2- pi*R^2/6