Question

Вычислить данный предел

Answer 1

Сделаем замену: $x\to 1-x$. Получим: $\lim\limits_{x\to0,\;y\to 0}\frac{\sqrt{(1-x)^2+y^2}-1 }{\sqrt[3]{x^2+y^2} }$. Теперь можно сделать другую замену: $x\to r\cos\varphi$, $y\to r\sin\varphi$. После преобразований выйдет: $\lim\limits_{r\to 0}\frac{\sqrt{1+r^2-2r\cos\varphi}-1 }{\sqrt[3]{r^2} }$. Теперь зажмем функцию под пределом между $\frac{\sqrt{1+r^2+2r}-1 }{\sqrt[3]{r^2} }=\frac{r}{r^{2/3}}=r^{1/3}$ и $\frac{\sqrt{1+r^2-2r}-1 }{\sqrt[3]{r^2} }= \frac{|r-1|-1}{r^{2/3}}$. Взяв предел от этих частей, получим, что искомый предел равен 0.