Question

Найти наибольшее значение функции $y= \frac{4}{x^{2}+6x+5 }$

Answer 1

Решение:

Найдем производную:

$\displaystyle \Big (y \Big ) ' = \bigg (\frac{4}{x^2+6x+5} \bigg )' = \frac{ (4) ' \cdot (x^2+6x+5) - 4 \cdot (x^2+6x+5)'}{(x^2+6x+5)^2} =\\\\= \frac{0 \cdot (x^2+6x+5)- 4 \cdot (2x+6)}{(x^2+6x+5)^2} = \frac{-8x-24}{(x^2+ 6x +5)^2}$

Приравниваем производную (а конкретнее, ее числитель) к нолю:

$-8x-24=0\\-8x=24\\x=-3$

При этом $x=-3$ не дает ноля в знаменателе. Значит, и сама функция, и ее производная, в этой точке существуют.

Теперь, теоремой Виета, найдем точки, в которых функция (и, как следствие, производная) не существует (то есть, знаменатель ⇒ корень из знаменателя равен нолю):

$x^2+6x+5=0\\\\\left[\begin{array}{ccc}x_1=-5\\x_2=-1\end{array}\right$

Расставляем знаки производной (на промежутках между числами $-5$, $-3$ и $-1$; точки $-5$ и $-1$ - выколотые, а $-3$ - закрашенная):

  + + +             + + +            - - -            - - -

______$(-5)$______$[-3]$______$(-1)$______

И делаем вывод, что точка максимума функции - это $x=-3$.

В ней значение функции равняется:

$y = \dfrac{4}{(-3)^2+6 \cdot (-3)+5} = \dfrac{4}{9-18+5} = \dfrac{4}{-4} = -1$

Задача решена! А график самой функции (нужно сказать, весьма интересный) расположен ниже, во вложении.

Ответ: - 1 .