Question

Вычислить интеграл $\int\limits^a_b ({x^{2}+1)^{3} } \, xdx$

Answer 1

Ответ:

При вычислении определённого интеграла применяем формулу Ньютона-Лейбница .

$\displaystyle \int\limits^a_b\, (x^2+1)^3\cdot x\, dx=\Big[\ t=x^2+1\ ,\ dt=2x\, dx\ ,\ \int t^3\, \frac{dt}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{t^4}{4}+C\ \Big]=\\\\\\=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{(x^2+1)^4}{4}\ \Big|_{b}^{a}=\dfrac{1}{8}\cdot \Big((a^2+1)^4-(b^2+1)^4\Big)$

Если необходимо разложить на множители полученное выражение, то

$\displaystyle=\frac{1}{8}\cdot \Big((a^2+1)^2-(b^2+1)^2\Big)\Big((a^2+1)^2+(b^2+1)^2\Big)=\\\\\\=\frac{1}{8}\cdot \Big(a^2+1-b^2-1\Big)\Big(a^2+1+b^2+1\Big)\Big(a^4+2a^2+1+b^4+2b^2+1\Big)=$  

$=\dfrac{1}{8}\cdot \Big(a^2-b^2\Big)\Big(a^2+b^2+2\Big)\Big(a^4+2a^2+b^4+2b^2+2\Big)=\\\\\\=\dfrac{1}{8}\cdot \Big(a-b\Big)\Big(a+b\Big)\Big(a^2+b^2+2\Big)\Big(a^4+2a^2+b^4+2b^2+2\Big)$