Question

решите уравнение: x^5=x^8 Все корни и мнимые

Answer 1

С учетом кратности корней их должно быть 8, так как многочлен восьмой степени. Разность кубов разложим по известной формуле

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

$x^8-x^5=0 \Rightarrow x^5(x^3-1)=0 \Rightarrow x^5(x-1)(x^2+x+1)=0$

Корень $x=0$ имеет кратности 5, корень $x=1$ имеет кратность 1 и осталось вычислить 2 комплексных корня из последней скобки:

$\displaystyle x^2+x+1=0 \Rightarrow D=1^2-4\cdot 1 \cdot 1=-3 \Rightarrow x=\frac{-1\pm i \sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\displaystyle \boxed{0; \ 1; \frac{-1\pm i \sqrt{3}}{2}}$