Question

Двое студентов по очереди бросают мяч в корзину. Побеждает тот, кто раньше забросит мяч. Найти вероятность победы для каждого участника соревнований, если они оба попадают мячом в корзину при каждом броске с вероятностью 0,5 и каждому из них разрешается сделать не более чем 3 броска

Answer 1

Считать будем все броски подряд, из которых нечетные (1, 3, 5) делает первый игрок, а четные (2, 4, 6) - второй.

Первый побеждает в следующих ситуациях:

- попал 1 броском

- попал 3 броском, а все предыдущие броски закончились промахом

- попал 5 броском, а все предыдущие броски закончились промахом

Второй побеждает в следующих ситуациях:

- попал 2 броском, а предыдущий бросок закончился промахом

- попал 4 броском, а все предыдущие броски закончились промахом

- попал 6 броском, а все предыдущие броски закончились промахом

Зная вероятность попадания $p=0.5$, вычислим вероятность промаха:

$q=0.5$:

Вероятность победы первого игрока:

$P(A)=p_1+p_3+p_5=p+q^2p+q^4p=p+p^3+p^5=\\=0.5+0.5^3+0.5^5=0.65625$

Вероятность победы второго игрока:

$P(B)=p_2+p_4+p_6=qp+q^3p+q^5p=p^2+p^4+p^6=\\=0.5^2+0.5^4+0.5^6=0.328125$

Ответ: победа первого с вероятностью 0.65625, победа второго с вероятностью 0.328125