Question

Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ox фігури обмеженої лініями y= -x^2+3, y=2, y=0​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

y₁= -x²+3, y₂=2, y=0​

y=0​ - это ось Ох

объем тела вращения вокруг оси Ох, ограниченного функциями у(х)

вычисляется по формуле

$V = \pi \int\limits^b_a {(y_1^2}(x) - y_2^2}(x) )\, dx$  

пределы интегрирования - точки пересечения у₁ и у₂

-x²+3 =2  ⇒   х₁ = -1;  х₂ = 1

$V =\pi \int\limits^{1}_{-1} {((-x^2+3)^2-2^2} )\, dx = \\\pi (\int\limits^{1}_{-1} {(x^4-6x^2+5} )\, dx)= \pi( \int\limits^{1}_{-1} {(x^4} )\, dx- 6\int\limits^{1}_{-1} {(x^2} )\, dx+5\int\limits^{1}_{-1} {} \, dx) =$

$=\pi (\frac{x^5}{5} I_{-1}^1 -6\frac{x^3}{3} I_{-1}^1 +5xI_{-1}^1 )= \pi (\frac{5}{2} -4+10)=\frac{32\pi }{5}$