Предмет: Геометрия, автор: ududufhoh

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА РАЗОБРАТЬСЯ 35 БАЛЛОВ

Продолжение биссектрисы угла B треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке M; O — центр вписанной окружности, Ob — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC. Докажите, что точки A, C, O и Ob лежат на окружности с центром M.​


ududufhoh: Ob центр вневписанной окружности
david777ge: что смущает ? в Ob b индекс , например: центр O₁,O₇, или Oₐ
david777ge: 1. Очевидно,четырехугольнику OAO₁C можно описать окружность . 2. точка M центр этой окружности (нужно приложить усилия)

Ответы

Автор ответа: siestarjoki
2

Центр вписанной окружности (O) - пересечение биссектрис внутренних углов.

Центр вневписанной окружности (Ob) - пересечение биссектрис внешних углов.  

Поскольку центр Ob лежит на биссектрисах внешних углов A и С, он равноудален от прямых AB, AC, BC, следовательно лежит на биссектрисе угла B.  

Биссектрисы внешнего и внутреннего углов перпендикулярны (сумма смежных углов 180, сумма их половин 90).  

В четырехугольнике AOCOb противоположные углы прямые (сумма 180), следовательно он вписанный, OOb - диаметр.  

Пусть M - середина OOb, центр описанной окружности AOCOb.

AMC =∪AO+∪CO =2ACO +2CAO =A+C

В четырехугольнике ABCM внешний угол равен внутреннему при противолежащей вершине, следовательно четырехугольник вписанный.

То есть M лежит на описанной окружности ABC.

Приложения:

siestarjoki: https://imgur.com/lsjBzMF
cos20093: Ну я задачку решил конечно, но пришлось повозиться. Она составлена таким образом, что нужно много предварительного материала, с ходу трудно решать. Там на вашем чертеже, если обозначить вторые точки, где синяя окружность пересекает BC - K1 и XY - A1 (AKK1A1 - прямоугольник), то XA = K1C и A1Y = BK; это не так и просто доказать, даже если знаешь, что это так.
cos20093: Кстати, могу посоветовать Cinderella для построения чертежей - я её тут случайно обнаружил и играюсь теперь :) - мощная штука, и бесплатная.
cos20093: Вернусь к задачке - по этапам я находил вот что. 1) K1M перпендикулярно AB. Вся синяя окружность построена на AK1 как на диаметре. Вообще точка K1 (где синяя окружность пересекает BC) - это произвольно выбираемая точка. Выбор её как бы "фиксирует" условие.
cos20093: Пока все довольно просто. 2) дальше пришло в голову, что сторона AC пока может отдохнуть - надо понять, что там за прямые связаны с точкой K1. Поэтому пришла в голову такая задачка - построить окружность на BK1 как на диаметре (раз угол BMK1 прямой, то M окажется на ней). Она где-то пересечет зеленую окружность. Вот надо доказать, что эта точка лежит на BH.
cos20093: Пусть это точка Р. Это удалось сделать довольно легко (когда правильно задан вопрос, ответ искать просто) - я сравнивал вписанные углы и угол BAK, оказалось, что равны углы MPH и MPB, что и нужно было доказать. 3) Дальше легко увидеть и то, что PX является пргодолжением K1P - оба образуют прямой угол с BH, То есть XK1 оказался перпендикулярным BH, что сразу решает задачу.
cos20093: Как видите, пришлось идти мелкими шажками. Студенты наверняка имеют соответствующую тренировочную базу по материалу, им на много проще. Я по сути выстраивал весь путь, несколько раз утыкаясь в зацикленность рассуждений, пока не прорвался. Для головы это хорошее упражнение, но удовольствия от решения на много меньше, чем потрачено усилий.
cos20093: Немного неточно :(
ududufhoh: где именно
cos20093: С точкой Y :) там можно аналогично доказать K1B = AY
Похожие вопросы
Предмет: Русский язык, автор: Dushzhanov987
Предмет: Русский язык, автор: Malihina
Предмет: География, автор: leko57