Question

Исследовать ряды на сходимость

Answer 1

$\sum\limits^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^n\cdot 2n}{n^2+1}$

Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница.По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие выполняется

$1>\frac{4}{5}>\frac{3}{5}>...$

По второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0.

$\lim\limits_{n\to \infty}\frac{2n}{n^2+1}=0$

Таким образом, рассматриваемый ряд сходится. Теперь нужно исследовать на абсолютной и условной сходимости ряда. Возьмём данный ряд по модулю

$\Big|\sum\limits^\infty_{n=1}\frac{(-1)^n\cdot 2n}{n^2+1}\Big|=\sum\limits^\infty_{n=1}\frac{2n}{n^2+1}$ - расходящийся ряд, поскольку $\sum\limits^\infty_{n=1}\frac{2n}{n^2+1}\sim\sum\limits^\infty_{n=1}\frac{2n}{n^2}=\sum\limits^\infty_{n=1}\frac{2}{n}$ - гармонический ряд расходится. Следовательно, данный ряд сходится условно.

$\sum\limits^\infty_{n=2}\frac{1}{n\ln^4n}$

По интегральному признаку:

$\int \limits^\infty_2\frac{1}{n\ln^4n}dn=\int \limits^\infty_2\frac{d\ln n}{\ln^4n}=-\frac{1}{3\ln^3n}\Big|^\infty_2=\frac{1}{3\ln^32}$

Несобственный интеграл сходится, а значит сходится и рассматриваемый ряд