Question

Докажите, что при любом натуральном n число 6^2(n+1) − 2^(n+3)* 3^(n+2) + 36 делится на 900.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$6^{2n+2}-2^{n+3}3^{n+2}+36= 6^{2n}6^2-2^n3^n2^33^2+36=36*6^{2n}-72*6^n+36=\\\\=36(6^{2n}-2*6^n+1)=36(6^n-1)^2\\\\\\\frac{36(6^n-1)^2}{900} =\frac{36(6^n-1)^2}{36*25} =\frac{(6^n-1)^2}{25} =(\frac{6^n-1}{5} )^2$

Число 6ⁿ-1 без остатков делится на 5.

Причина в том, что число 6ⁿ заканчивается всегда на 6.

Из этого числа вычитаем 1, и последняя цифра  число 6ⁿ-1  будет 5.

Это соответствует  признаку делимости на 5.

Доказано:

при любом натуральном n число

$6^{2n+2}-2^{n+3}3^{n+2}+36$

делится на 900