Question

Найти неопределенные интегралы. (кроме буквы а)

Answer 1

Объяснение: см. во вложении

Answer 2

Ответ:

б)

$\int \dfrac{x\, dx}{x^2-5x+7}=\int \dfrac{\, dx}{(x-\frac{5}{2})^2-\frac{25}{4}+7}=\int \dfrac{x\, dx}{(x-\frac{5}{2})^2+\frac{3}{4}}=\\\\\\=\Big[\ t=x-\frac{5}{2}\ ,\ x=t+\frac{5}{2}\ ,\ dx=dt\ \Big]=\int \dfrac{t+\frac{5}{2}}{t^2+\frac{3}{4}}\, dt=\dfrac{1}{2}\int \dfrac{2t\, dt}{t^2+\frac{3}{4}}+\\\\\\+\dfrac{5}{2}\int \dfrac{dt}{t^2+\frac{3}{4}}=\dfrac{1}{2}\, ln\Big|t^2+\dfrac{3}{4}\Big|+\dfrac{5}{2}\cdot \dfrac{2}{\sqrt3} arctg\dfrac{2t}{\sqrt3}+C=$

$=\dfrac{1}{2}\, ln|x^2-5x+7|+\dfrac{5}{\sqrt3}\cdot arctg\dfrac{2x-5}{\sqrt3}+C$

в)

$\int \dfrac{sin2x}{4+cos^22x}\, dx=[\ t=cos2x\ ,\ dt=-2\, sin2x\, dx\ \Big]=-\dfrac{1}{2}\int \dfrac{dt}{4+t^2}=\\\\\\=-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot arctg\dfrac{t}{2}+C=-\dfrac{1}{4}\cdot arctg\dfrac{cos2x}{2}+C$

г)

$\int \dfrac{x^2-1}{x(x^2+2)}\, dx=-\dfrac{1}{2}\int \dfrac{dx}{x}+\dfrac{3}{2}\int \dfrac{x\, dx}{x^2+2}=-\dfrac{1}{2}\, ln|x|+\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\int \dfrac{d(x^2+2)}{x^2+2}=\\\\\\=-\dfrac{1}{2}\, ln|x|+\dfrac{3}{4}\cdot ln(x^2+2)+C\\\\\\\star \ \ \dfrac{x^2-1}{x(x^2+2)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{Bx+C}{x^2+2}=\dfrac{Ax^2+2A+Bx^2+Cx}{x(x^2+2)}\\\\\\x^2-1=(A+B)\, x^2+Cx+2A\\\\x^2\, \Big|\ A+B=1\\x\ \, \Big|\ C=0\\x^0\, \Big|\ 2A=-1\ \ ,\ \ A=-\dfrac{1}{2}\ \ ,\ \ B=1-A=1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$