Question

Экспериментально получены пять значений искомой функции y=f(x) при пяти значениях аргумента x: 1, 2, 3, 4, 5. Методом наименьших квадратов найти функцию y=f(x) в виде y= ax + h. Сделать чертеж.

Answer 1

Искомая функция $f(x)= ax + h$.

Найдем значения искомой функции в заданных точках х:

$f(1)=a\cdot1+h=a+h$

$f(2)=a\cdot2+h=2a+h$

$f(3)=a\cdot3+h=3a+h$

$f(4)=a\cdot4+h=4a+h$

$f(5)=a\cdot5+h=5a+h$

Кроме этого, для каждого из аргументов х есть еще и экспериментальное значение, которое обозначим через функцию $g(x)$:

$g(1)=0.4;\ g(2)=1.1;\ g(3)=1.0;\ g(4)=3.1;\ g(5)=1.9$

Составим функцию $z(a;\ h)$, которая будет суммировать квадраты разностей значений функций $f(x)$ и $g(x)$ соответствующих аргументов:

$z(a;\ h)=(a+h-0.4)^2+(2a+h-1.1)^2+(3a+h-1.0)^2+\\+(4a+h-3.1)^2+(5a+h-1.9)^2$

Исследуем эту функцию на экстремумы.

Найдем частные производные:

$z'_a=2(a+h-0.4)+2(2a+h-1.1)\cdot2+2(3a+h-1.0)\cdot3+\\+2(4a+h-3.1)\cdot4+2(5a+h-1.9)\cdot5$

$z'_a=2a+2h-0.8+8a+4h-4.4+18a+6h-6+\\+32a+8h-24.8+50a+10h-19$

$z'_a=110a+30h-55$

$z'_h=2(a+h-0.4)+2(2a+h-1.1)+2(3a+h-1.0)+\\+2(4a+h-3.1)+2(5a+h-1.9)$

$z'_h=2a+2h-0.8+4a+2h-2.2+6a+2h-2+\\+8a+2h-6.2+10a+2h-3.8$

$z'_h=30a+10h-15$

Необходимое условие экстремума - равенство нулю частных производных. Составим систему:

$\begin{cases} 110a+30h-55=0\\ 30a+10h-15=0\end{cases}$

Домножим второе уравнение на (-3):

$\begin{cases} 110a+30h-55=0\\ -90a-30h+45=0\end{cases}$

Складываем уравнения:

$20a-10=0$

$a=0.5$

Подставим значение а во второе уравнение исходной системы:

$30\cdot0.5 +10h-15=0$

$15+10h-15=0$

$10h=0$

$h=0$

Точка (0.5; 0) - предполагаемая точка экстремума.

Найдем вторые частные производные функции:

$z''_{aa}=(110a+30h-55)'_a=110$

$z''_{ah}=(110a+30h-55)'_h=30$

$z''_{hh}=(30a+10h-15)'_h=10$

Рассмотрим выражение:

$\Delta=z''_{aa}z''_{hh}-(z''_{ah})^2=110\cdot10-30^2=200$

Так как $\Delta>0$ и $z''_{aa}>0$, то точка (0.5; 0) является точкой минимума.

Значит, в точке (0.5; 0) функция $z(a;\ h)$ имеет минимум.

Тогда, значения $a=0.5$ и $h=0$ есть искомые коэффициенты функции $f(x)$.

$f(x)= 0.5x$

Ответ: $f(x)= 0.5x$

Answer 2

Объяснение: см. во вложении