Question

Даны: функция z=f(x,y), точка A и вектор a . Требуется найти: 1) grad z в точке A ; 2) производную в точке A по направлению вектора a ; 3) экстремум функции z=f(x,y)

Answer 1

$z=3x^2+3xy+y^2-6x-2y+1$

1. Градиент - это вектор вида $\mathrm{grad} z=\dfrac{\partial z}{\partial x} \vec{i}+\dfrac{\partial z}{\partial y} \vec{j}$.

Найдем частные производные:

$\dfrac{\partial z}{\partial x} =(3x^2+3xy+y^2-6x-2y+1)'_x=6x+3y-6$

$\dfrac{\partial z}{\partial y} =(3x^2+3xy+y^2-6x-2y+1)'_y=3x+2y-2$

Найдем значение частных производных в точке А:

$\dfrac{\partial z}{\partial x} =6\cdot4+3\cdot3-6=27$

$\dfrac{\partial z}{\partial y} =3\cdot4+2\cdot3-2=16$

Градиент принимает вид:

$\mathrm{grad}_A z=27 \vec{i}+16 \vec{j}$

2. Производная по направлению вектора $\vec{a}$  определяется как $\dfrac{\partial z}{\partial \vec{a}} =\dfrac{\partial z}{\partial x} \cos\alpha +\dfrac{\partial z}{\partial y}\cos \beta$, где $\cos\alpha=\dfrac{a_x}{\sqrt{a_x^2+a_y^2} }$ , $\cos\beta =\dfrac{a_y}{\sqrt{a_x^2+a_y^2} }$

Определим направляющие косинусы:

$\cos\alpha=\dfrac{3}{\sqrt{3^2+(-4)^2} }=\dfrac{3}{5}$

$\cos\beta =\dfrac{-4}{\sqrt{3^2+(-4)^2} }=-\dfrac{4}{5}$

Значения частных производных в точке А уже вычислялись. Вычисляем производную по направлению:

$\dfrac{\partial z}{\partial \vec{a}} =\dfrac{3}{5}\cdot27- \dfrac{4}{5}\cdot16=3.4$

3. Необходимое условие экстремума: равенство нулю частных производных. Приравняем частные производные к нулю, составим и решим систему:

$\begin{cases} 6x+3y-6=0\\3x+2y-2=0\end{cases}$

$\begin{cases} 2x+y-2=0\\3x+2y-2=0\end{cases}$

Выразим из первого уравнения у:

$y=2-2x$

Подставим во второе:

$3x+2(2-2x)-2=0$

$3x+4-4x-2=0$

$-x=-2$

$x=2$

$\Rightarrow y=-2$

Таким образом, точка (2; -2) - предполагаемая точка экстремума.

Найдем вторые производные функции:

$A=\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2} =(6x+3y-6)'_x=6$

$B=\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} =(6x+3y-6)'_y=3$

$C=\dfrac{\partial^2 z}{\partial y^2} =(3x+2y-2)'_y=2$

Рассмотрим выражение $\Delta=AC-B^2$:

$\Delta=6\cdot2-3^2=3$

Так как $\Delta>0$ и $A>0$, то (2; -2) - точка минимума.

Найдем значение минимума:

$z_{\min}=z(2;\ -2)=3\cdot2^2+3\cdot2\cdot(-2)+(-2)^2-6\cdot2-2\cdot(-2)+1=-3$

Ответ:

а) $\mathrm{grad}_A z=27 \vec{i}+16 \vec{j}$

б) $\dfrac{\partial z}{\partial \vec{a}} =3.4$

в) $z_{\min}=-3$

Answer 2

Объяснение: решение смотрите во вложении