Question

Помогите, пожалуйста, решить уравнение 2sin^2(2x)=(cosx+sinx)^2

Answer 1

$2\sin^{2}2x = (\cos x + \sin x)^{2}$

$2\sin^{2}2x = \cos^{2}x + 2\sin x \cos x + \sin^{2}x$

$2\sin^{2}2x = 1 + \sin 2x$

$2\sin^{2}2x - \sin 2x - 1 = 0$

Замена: $\sin 2x = t, \ -1 \leq t \leq 1$

$2t^{2} - t - 1 = 0$

$D = (-1)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

$t_{1} = \dfrac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \dfrac{1 + 3}{4} = 1$

$t_{2} = \dfrac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \dfrac{1 - 3}{4} = -\dfrac{1}{2}$

$1) \ \sin 2x = 1$

$2x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n, \ n \in Z$

$x = \dfrac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in Z$

$2) \ \sin 2x = -\dfrac{1}{2}$

$\displaystyle \left [ {{2x =\arcsin \left(-\dfrac{1}{2} \right) + 2\pi n, \ \ \ \ \ } \atop {2x =\pi - \arcsin \left(-\dfrac{1}{2} \right) + 2\pi n, }} \right. \ n \in Z$

$\displaystyle \left [ {{2x =-\arcsin \dfrac{1}{2} + 2\pi n, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \, } \atop {2x =\pi - \left(-\arcsin \dfrac{1}{2}\right) + 2\pi n,}} \right. \ n \in Z$

$\displaystyle \left [ {{2x =-\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n, \ \ \ } \atop {2x =\pi + \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n, }} \right. \ n \in Z$

$\displaystyle \left [ {{2x =-\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n,} \atop {2x = \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi n, }} \right. \ n\in Z$

$\displaystyle \left [ {{x =-\dfrac{\pi}{12} + \pi n,} \atop {x = \dfrac{7\pi}{12} + \pi n, \ \ }} \right. \ n\in Z$

Получили три ответа с наименьшим положительным периодом $T = \pi.$

На единичной окружности найдем объединение всех ответов. Заметим, что все три ответа повторяются через треть окружности (см. рисунок), поэтому: $x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi n}{3}, \ n \in Z$

Ответ: $x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi n}{3}, \ n \in Z$