Question

Пусть y(x) - решение задачи Коши y′–ytgx=sinx, y(0)=1. Найти y(π)

Answer 1

$y'-y{\rm tg}\, x=\sin x$

Домножаем к левой и правой частям дифференциального уравнения на $\cos x$, имеем $y'\cdot \cos x-y\cdot \sin x=\sin x\cos x$. Левую часть уравнения можно представить в виде:

$y'\cdot \cos x+y\cdot (\cos x)'=\sin x\cos x$

Замечаем, что левая часть последнего диф. уравнения это дифференцирование произведения двух функций и в правой части применяем синус двойного угла.

$\Big(y\cdot \cos x\Big)'=\frac{1}{2}\sin 2x$

$y\cos x=\int \frac{1}{2}\sin 2xdx\\ \\ y\cos x=-\frac{1}{4}\cos 2x+C\\ \\ y=\Big(C-\frac{1}{4}\cos 2x\Big)\cos x$

Осталось найти частное решение, подставив начальные условия

$1=\Big(C-\frac{1}{4}\cos0\Big)\cdot \cos 0\\ \\ 1=C-\frac{1}{4}\\ \\ C=\frac{5}{4}$

Частное решение данного диф. уравнения: $y=\Big(\frac{5}{4}-\frac{1}{4}\cos 2x\Big)\cos x$

$y(\pi)=\Big(\frac{5}{4}-\frac{1}{4}\cos(2\cdot \pi)\Big)\cdot \cos \pi =\Big(\frac{5}{4}-\frac{1}{4}\cdot 1\Big)\cdot (-1)=-1.$