Question

Помогите с решением, желательно с пояснением. В ответах указано А {3} U [4;5)

Answer 1

$|x^{2} - 6x + 8| + |x^{2} - 6x + 5| = a$

Рассмотрим две функции:

$1) \ f(x) = |x^{2} - 6x + 8| + |x^{2} - 6x + 5|$

$2) \ g(x) = a$ — линейная функция, график которой — прямая, параллельная оси абсцисс.

Изобразим данные функции на координатной плоскости.

Чтобы построить график функции $f(x) = |x^{2} - 6x + 8| + |x^{2} - 6x + 5|$, следует раскрыть модуль на участках.

Найдем нули модулей функции $f:$

$1) \ x^{2} - 6x + 8 = 0\\x_{1} = 2;\ x_{2} = 4$

$2) \ x^{2} - 6x + 5 = 0\\x_{1} = 1;\ x_{2} = 5$

Рассмотрим функцию $f$ на пяти участках и раскроем модули в соответствии с участком (см. таблицу), используя правило:

$|f(x)| = \displaystyle \left \{ {{f(x), \ f(x) \geq 0, \ } \atop {-f(x), \ f(x) < 0}} \right.$

$\text{I}) \ x \in(-\infty; \ 1)$

$f(x) = x^{2} - 6x + 8 + x^{2} - 6x + 5 = 2x^{2} - 12x + 13$

Построим график функции $f(x) = 2x^{2} - 12x + 13$ на участке $x \in(-\infty; \ 1)$ (см. пункт $\text{V}$)

$\text{II}) \ x \in[1; \ 2]$

$f(x) = x^{2} - 6x + 8 - (x^{2} - 6x + 5) = 3$

Построим график функции $f(x) = 3$ на участке $x \in[1; \ 2]$

$\text{III}) \ x \in(2; \ 4)$

$f(x) = -(x^{2} - 6x + 8) - (x^{2} - 6x + 5) = -2x^{2} + 12x - 13$

$a = -2 < 0$ — ветви параболы направлены вниз

$x_{0} = \dfrac{-12}{2 \cdot (-2)} = 3$

$y_{0}(3) = -2 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 - 13 = 5$

Пересечение с осями координат:

1) с осью абсцисс: $-2x^{2} + 12x - 13 = 0; \ x_{1,2} = \dfrac{6 \pm \sqrt{10}}{2}$

2) с осью ординат: $y = -13$

Построим график функции $f(x) = -2x^{2} + 12x - 13$ на участке $x \in[1; \ 2]$

$\text{IV}) \ x \in[4; \ 5]$

$f(x) = x^{2} - 6x + 8 - (x^{2} - 6x + 5) = 3$

Построим график функции $f(x) = 3$ на участке $x \in[4; \ 5]$

$\text{V}) \ x \in(5; \ +\infty)$

$f(x) = x^{2} - 6x + 8 + x^{2} - 6x + 5 = 2x^{2} - 12x + 13$

Построим график функции $f(x) = 2x^{2} - 12x + 13$ на участке $x \in(5; \ +\infty)$

$a = 2 > 0$ — ветви параболы направлены вверх

$x_{0} = \dfrac{12}{2 \cdot 2} = 3$

$y_{0}(3) = 2 \cdot 3^{2} - 12 \cdot 3 + 13 = -5$

Пересечение с осями координат:

1) с осью абсцисс: $2x^{2} - 12x + 13 = 0; \ x_{1,2} = \dfrac{6 \pm \sqrt{10}}{2}$

2) с осью ординат: $y = 13$

Изобразим график функции $f(x) = |x^{2} - 6x + 8| + |x^{2} - 6x + 5|$ (см. рисунок).

Уравнение $|x^{2} - 6x + 8| + |x^{2} - 6x + 5| = a$ будет иметь более трех решений, если прямая $g(x) = a$ будет иметь более трех точек пересечения с графиком функции $f(x) = |x^{2} - 6x + 8| + |x^{2} - 6x + 5|$

Изобразим возможные варианты решений (см. рисунок).

1) Если $a \in (-\infty; \ 3)$, то уравнение не имеет решений.

2) Если $a \in \{3\}$, то уравнение имеет множество решений (промежуток решений).

3) Если $a \in (3; \ 5)$, то уравнение имеет 4 решения.

4) Если $a \in \{5 \}$, то уравнение имеет 3 решения.

5) Если $a \in (5; \ +\infty)$, то уравнение имеет 2 решения.

Таким образом, при $a \in [3; \ 5)$ уравнение $|x^{2} - 6x + 8| + |x^{2} - 6x + 5| = a$ имеет более трех решений.

Ответ: $a \in [3; \ 5)$