Question

Решите уравнение СРОЧНО!

Answer 1

Решаем 1.

$\displaystyle sin2x=2cosx-4sinx+4; \ sin2x=2sinxcosx \Rightarrow \\ \Rightarrow 2sinxcosx=2cosx-4sinx+4|:2 \Rightarrow \\ \Rightarrow sinxcosx=cosx-2sinx+2 \Rightarrow cosx(sinx-1)+2(sinx-1)=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow (sinx-1)(cosx+2)=0; \ -1\leq cosx \leq 1 \Rightarrow 1 \leq cosx+2 \leq 3 \Rightarrow \\ \Rightarrow cosx+2>0 \Rightarrow sinx=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n, \n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $\boxed{\frac{\pi}{2}+2\pi n, \ n \in \mathbb{Z}}$

Решаем 2. Работать с модулями не очень приятно, но в этом случае, наверное, проще раскрывать его, чем ставить условие для левой части, а потом возводить в квадрат.

$\left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} sinx \geqslant 0, \hfill \\2sinxcosx-\sqrt{3}sinx=0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{\begin{gathered} sinx<0, \hfill \\ 2sinxcosx+\sqrt{3}sinx = 0. \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow$

$\Rightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} sinx \geqslant 0, \hfill \\sinx(2cosx-\sqrt{3})=0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{\begin{gathered} sinx<0, \hfill \\ sinx(2cosx+\sqrt{3}) = 0. \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow$

Здесь вынесем отдельно $sinx=0$, а так как он уже будет рассмотрен, то просто поделим на него.

$\Rightarrow \left[ \begin{gathered} sinx=0 \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} sinx > 0, \hfill \\ cosx=\frac{\sqrt{3}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{\begin{gathered} sinx<0, \hfill \\ cosx=-\frac{\sqrt{3}}{2}. \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow$

С системами нужно просто понимать, что, например, при решении $\displaystyle cosx=\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n, \ n \in \mathbb{Z}$

серия решений с "+" лежит в верхней половине окружности, где синус положителен, а отрицательная - нет. Аналогично во второй. В итоге получается, что

$\Rightarrow \left[ \begin{gathered} x=\pi k, \ k \in \mathbb{Z} \hfill \\ x=\frac{\pi}{6}+2\pi m, \ m \in \mathbb{Z} \hfill \\ x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n, \ n \in \mathbb{Z} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

А вот последние две серии решений можно удобно объединить, получится в итоге

$\Rightarrow \left[ \begin{gathered} x=\pi k, \ k \in \mathbb{Z} \hfill \\ x=\frac{\pi}{6}+\pi n, \ n \in \mathbb{Z} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Ответ: $\displaystyle \boxed{\pi + \pi k; \frac{\pi}{6}+\pi n, \ k,n \in \mathbb{Z}}$