Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=-x^2+2, y=x.

Answer 1

Решение:

Найдём абсциссы точек пересечения графиков функций. Для этого необходимо приравнять данные функции и решить уравнение:

${-x}^{2}+2=x \\ \\ {-x}^{2}+2-x=0 \\ \\ \underbrace{{-x}^{2}}_{a}\underbrace{-x}_{b}\underbrace{+2}_{c}=0 \\ \\ D={b}^{2}-4ac={(-1)}^{2}-4\cdot(-1)\cdot2=1-(-8)=1+8=9\\\\{x}_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{-(-1)-\sqrt{9}}{2\cdot(-1)}=\dfrac{1-3}{-2}=\dfrac{-2}{-2}=1 \\ \\ {x}_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{-(-1)+\sqrt{9}}{2\cdot(-1)}=\dfrac{1+3}{-2}=\dfrac{4}{-2}=-2$

Теперь воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:

$\boxed{\boldsymbol{\int\limits^b_a {f(x)} \, dx =F(b)-F(a)}}$

Где $a=-2, \: \: b=1$. Нам ничего не остаётся сделать, как подставить численные значения в формулу и решить определённый интеграл:

$\displaystyle \int\limits^1_{-2} {{-x}^{2}-x+2} \, dx =-\int\limits {{x}^{2}} \, dx -\int\limits {x} \, dx +\int\limits {2} \, dx =\Big(-\dfrac{{x}^{3}}{3}-\dfrac{{x}^{2}}{2}+2x\Big)\Big|^1_{-2}= \\ \\ =-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}+2-\Big(-\dfrac{-8}{3}-2-4\Big)=\dfrac{6-1+4}{2}=\dfrac{9}{2}=4\dfrac{1}{2}=4\dfrac{5}{10}=\bf{4,5}$

Ответ: $\Large{\boxed{\bold{4,5}}}$