Question

Определить ряд сходится абсолютно, или условно, или разбегается $1-\frac{1}{\sqrt[5]{2}}+...+\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt[5]{n}}+...$

Answer 1

$1-\frac{1}{\sqrt[5]{2}}+...+\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt[5]{n}}+...=\sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt[5]{n}}$

По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие выполняется

$1>2^{-1/5}>3^{-1/5}>...$

По второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0.

$\lim_{n \to \infty} \frac{-1}{\sqrt[5]{n}}=0$

Второе условие Лейбница выполняется.  Таким образом, рассматриваемый ряд сходится. Исследуем на абсолютной и условной сходимости ряда. Для этого возьмём исходный ряд по модулю

$\Big|\sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt[5]{n}}\Big|=\sum^\infty_{n=1}\frac{1}{\sqrt[5]{n}}=\sum^\infty_{n=1}\frac{1}{n^{1/5}}$

Этот ряд расходится, так как $\alpha =1/5<1$.

Следовательно, исследуемый ряд сходится условно.