Question

Определить область сходимости ряда
$\frac{cosx}{e^x}+\frac{cos2x}{e^2^x}+...\frac{cosnx}{e^n^x} +...$

Answer 1

$\dfrac{\cos x}{e^{x}} + \dfrac{\cos 2x}{e^{2x}} + ... + \dfrac{\cos nx}{e^{nx}} + ... = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\cos nx}{e^{nx}}$

Необходимое условие сходимости выполняется только при $x > 0$

Поскольку $|u_{n}(x)| = \left|\dfrac{\cos nx}{e^{nx}} \right| < \dfrac{1}{e^{nx}},$ а при $x > 0$ ряд $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{e^{nx}}$ сходится по радикальному признаку Коши:

$\sqrt[n]{\dfrac{1}{e^{nx}} } = \dfrac{1}{e^{x}} < 1,$

то заданный ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\cos nx}{e^{nx}}$ сходится по признаку сравнения при $x > 0$

Таким образом, область сходимости заданного ряда: $0 < x < +\infty$

Ответ: $0 < x < +\infty$