Question

Вычислить пределы функции.​

Answer 1

Объяснение:

$a) \lim_{x \to 0} \frac{sin(3nx)}{7x}$

Неопределённость 0/0.

Возьмём производную одновременно от числителю и знаменателя:

$\lim_{x \to 0} \frac{(sin(3nx))'}{(7x)'}=\lim_{x \to 0} \frac{cos(3nx)*(3nx)'}{7}=\lim_{x \to 0} \frac{cos(3nx)*3n}{7}=\\=\frac{cos(3n*0)*3n}{7} =\frac{cos0*3n}{7} =\frac{1*3n}{7} =\frac{3n}{7}.$

$b) \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)*x^2-6x+3}{n*x^2-2x+4}.$

Неопределённость ∞/∞.

Разделим одновременно  числитель и знаменатель на х²:

$\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)-\frac{6}{x} +\frac{3}{x^2} }{n-\frac{2}{x} +\frac{4}{x^2} }=\frac{n+1-0+0}{n-0+0} =\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n} .$

$c)\lim_{n \to \infty}(1 +\frac{n}{x})^{2x}= \lim_{n \to \infty}(1 +\frac{n}{x})^{\frac{2x*2n}{2n} }= \lim_{n \to \infty}((1 +\frac{n}{x})^{\frac{x}{n}})^{2n} }=e^{2n}.$

Answer 2

$1)\ \ \lim\limits _{x \to 0}\dfrac{sin3nx}{7x}=\lim\limits _{x \to 0}\dfrac{3nx}{7x}=\dfrac{3n}{7}\\\\\star \ \ \ sin\alpha (x)\sim \alpha (x)\ ,\ \ \alpha (x)\to 0\ \ \star$

$2)\ \ \lim\limits _{x \to \infty}\dfrac{(n+1)x^2-6x+3}{nx^2-2x+4}=\lim\limits _{x \to \infty}\dfrac{(n+1)x^2}{nx^2}=\dfrac{n+1}{n}\\\\\star \ \ (a_{n}\, x^{n}+a_{n-1}\, x^{n-1}+...+a_0)\sim a_{n}\, x^{n}\ ,\ x\to \infty \ \ \star$

$3)\ \ \lim\limits _{x \to \infty}\Big(1+\dfrac{n}{x}\Big)^{2x}=\lim\limits _{x \to \infty}\Big(\underbrace {\Big(1+\dfrac{n}{x}\Big)^{\frac{x}{n}}}_{\to e}\Big)^{2n}=e^{2n}$