Question

Из 50 деталей 18 изготовлены в первом цехе, 20 – во втором, остальные в третьем. Первый и третий цеха дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,95, второй цех – с вероятностью 0,7. Наудачу взятая деталь оказалась отличного качества. Какова вероятность того, что деталь изготовлена во втором цехе?

Answer 1

Пусть A — выбрана деталь отличного качества.

$B_i$ — выбранная деталь изготовлена в $i$ цехе, где $i=\overline{1,3}$.

$P(B_1)=\dfrac{18}{50}=\dfrac{9}{25};~ P(B_2)=\dfrac{20}{50}=\dfrac{2}{5};~ P(B_3)=\dfrac{12}{50}=\dfrac{6}{25}$

Условные вероятности :

$P(A|B_1)=P(A|B_3)=0{,}95;~ P(A|B_2)=0{,}7$

$P(A)=\displaystyle \sum_{i=1}^3P(A|B_i)P(B_i)=0{,}95\cdot \dfrac{9}{25}+0{,}7\cdot \dfrac{2}{5}+0{,}95\cdot \dfrac{6}{25}=0{,}85.$

По формуле Байеса: $P(B_2|A)=\dfrac{P(A|B_2)P(B_2)}{P(A)}=\dfrac{0{,}7\cdot 2/5}{0{,}85}=\dfrac{28}{85}$